Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям, метод подстановки.

Meтод 1. Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенных интегралов с помощью свойств интегралов, таблицы интегралов и алгебраических, тригонометрических преобразований подынтегральной функции называется непосредственным интегрированием.

Предлагаем ниже таблицу различных типовых преобразований подынтегральной функции, после которых громоздкие, на первый взгляд, интегралы, сводятся к табличным:

Алгебраические преобразования подынтегральной функции	Свойство дроби
	Свойства степени
	Тригонометрические формулы	; ; ; ; ; ; ; ;

Пример 4. Найти неопределенные интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) (применили свойства степени , );

б) (применили свойство степени , и свойства неопределенного интеграла);

в) (применили формулу ).

Метод 2. Метод замены переменной

Применение теоремы об инвариантности формул интегрирования к

нахождению первообразной называют методом замены переменной. Если под знаком интеграла стоит произведение двух функций, причем одна из них является производной от второй или её промежуточного аргумента, то за переменную интегрирования можно взять функцию, производная от которой стоит под знаком интеграла.

Существуют следующие варианты этого метода: метод введения новой переменной и подведения под знак дифференциала.

а) Метод введения нового аргумента.

Во многих случаях введение нового аргумента (переменной) интегрирования позволяет свести вычисление данного интеграла к нахождению табличного.

Т еорема. Пусть функция t = φ(x) определена, непрерывна и дифференци-

руема на некотором промежутке Х и пусть Т – множество значе-

ний этой функции, на нем.

Пусть на множестве Т определена функция , для

которой существует первообразная т. е. .

Тогда всюду на множестве Х для функции

существует первообразная функция, равная , т.е.

. (1)

Доказательство.

Так как F¢(t) = f(t), t = φ(x), то по правилу дифференцирования сложной функции

и, следовательно, первообразная от f(φ(x))φ^/( x) есть F(φ(x)), т. е.

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание. После вычисления интеграла нужно перейти к

переменной х.

Пример 5. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Так как под интегралом стоит произведение двух функций

,

введем новую переменную .

.

б) Метод подведения под знак дифференциала

(частный случай замены переменной).

Если под интегралом стоит функция можно

преобразовать соответственно дифференциал, т.е.

(2)

Преобразование (2) называется подведением функции под знак дифференциала.

Тогда .

Для преобразования подынтегрального выражения к виду (2)

применяются простейшие преобразования дифференциалов и

таблица дифференциалов: