- •Дати означення події, випробування (експерименту), достовірної, випадкової та неможливої, сумісних, несумісних, рівноможливих подій. Навести приклади.
- •2. Сформулювати класичне визначення ймовірності події і записати відповідну формулу. Назвати основні фактори, що обмежують застосув цього визначення ймовірності. Приклади.
- •3. Сформулювати геометричне визначення ймовірності. Дати означення частоти та відносної частоти події. Сформулювати статистичне визначення ймовірності. Навести приклади.
- •4. Сформулювати теореми: а) про ймовірність суми двох подій; б) про ймовірність суми двох несумісних подій; в) про ймовірність суми декількох попарно несумісних подій. Навести приклади.
- •5. Сформулювати теореми: а) про ймов добутку двох подій; б) про ймовірність добутку двох незалежних подій; в) про ймов добутку декількох подій, незалежних у сукупності. Навести приклади
- •6. Записати формули повної ймовірності та Байєса. Пояснити зміст позначень. Навести приклади.
- •7. Навести умови схеми випробувань Бернуллі. Записати формулу Бернуллі. Навести приклади її застосування.
- •8. Сформулювати граничні теор у схемі випробувань Бернуллі: теорему Пуассона; локальну теорему Лапласа. Пояснити зміст позначень. Вказати умови можливості застосування цих теорем. Навести приклади.
- •9. Дати означення вв, двв, нвв. Навести приклади.
- •10. Дати означення функції розподілу імов та функції щільності розподілу імов неперервної випадкової величини. Вказати їх основні властивості. Навести приклади цих функцій.
- •12. Навести основні властивості математичного сподівання і дисперсії випадкових величин
- •13. Записати закони розподілу двв: біноміальний; геометричний та навести їх основні властивості. Навести приклади дискретних випадкових величин, розподілених за цими законами
- •14. Записати функцію щільності розподілу імовірн рівномірно розподіленої нвв. Записати формули для обчислення мат сподівання та дисперсії нвв. Навести приклади нвв, розподілених за цим законом.
- •17. Дати означення основних числових характеристик випадкових величин: асиметрії; ексцесу; моди; медіани. Записати формули або правила для їх обчислення для нвв. Навести приклади
- •18. Дати означення статистичної гіпотези. Назвати основні види статистичних гіпотез. Дати означення нульової та альтернативної гіпотез. Дати означення помилки першого роду, другого роду.
6. Записати формули повної ймовірності та Байєса. Пояснити зміст позначень. Навести приклади.
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, …, Bn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
P (A) = P(B1) PB1(A) + P(B2) PB2(A) +…+ P (Bn) PBn(A)
Эту формулу называют «формулой полной вероятности».
Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становиться известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А. В – гипотезы, поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит. Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности PA(B1), PA(B2), …, PA(Bn):
PA(Bi)=P(Bi)PBi(A)/(P(B)PB1(A)+P(B2)PB2(A)+…+P(Bn)PBn(A))
Формула повної імовірності - Приклад 1. З повного набору каменів доміно навмання беруться два каменя. Визначити ймовірність того, що другий камінь можна приставити до першого.
Формула Баєса - Приклад 2. У першій урні знаходиться 3 білих і 5 чорних кульок, а у другій – 2 білі і 6 чорних кульок. Із першої урни навмання вибрали дві кульки і переклали у другу. Після цього з другої урни витягли кульку, яка виявилась білою. Визначити ймовірність того, що у другу урну було перекладено тільки білі кульки.
7. Навести умови схеми випробувань Бернуллі. Записати формулу Бернуллі. Навести приклади її застосування.
Якщо усі випробовувань проводити в однакових умовах і імовірність появи події А в усіх випробовуваннях однакова, та не залежить від появи або не появи А в інших випробовуваннях, то таку послідовність незалежних випробовувань називають схемою Бернулі. Pn(M)=Cnm*mp*q(n-m)формула Бернулі. Вона дозволяє знаходити імовірність появи події А M разів при n випробовуваннях, які утворюють схему Бернулі.
Ймовірність того, що на протязі доби екзаменаційні сесії двійок отримає не більше p = 0,1; Знайти ймовірність того, що за всю сесію (20 днів) на протязі 7 днів двійок отримає не більше p = 0,1.
8. Сформулювати граничні теор у схемі випробувань Бернуллі: теорему Пуассона; локальну теорему Лапласа. Пояснити зміст позначень. Вказати умови можливості застосування цих теорем. Навести приклади.
Пуассона: якщо при проведенні випробувань за схемою Бернулі число випробовувань достатньо велике(прямує до нескінченності), а імовірність р достатньо мала(прямує до нуля), то з формули бернулі можна вивести формулу Пуассона → P(x)=(xk/k)*e-£. £=m*p.
Локальна Лапласа: Якщо при проведенні випробовувань за схемою Бернулі число випробовувань достатньо велике, а імовірність суттєво відрізняється від 0 та 1, то має місце лок лапласа → Pn(k)= (1/√npq)*φ(x). φ(x)=(1/√(2π))*e^-x2/2. x'=knp/√npq
Приклад: імовірність помилки в митній справі = 0,2. Знайти імовірністьт того, що в 400 оформленнях помилок буде 100. Р=0,2. n=400 k=100: √npq=√400*0,2*0,8=8, x'=(100-400-0,2)/8=2,5. φ(2,5)=0,175, Р400100 =0,0175/8.
Із статистичного зведення визначено, що ймовірність захворіти грипом під час епідемії для кожної особи складає 0,08. Яка ймовірність того, що із 100 перевірених осіб хворими виявляться рівно 10 осіб?