3. Сформулювати геометричне визначення ймовірності. Дати означення частоти та відносної частоти події. Сформулювати статистичне визначення ймовірності. Навести приклади.

Імовірність випадкової події А дорівнює відношенню міри g до міри G . Вона використовується у випадках, коли простір елементарних наслідків є незлічена множина : Додатне число, що вказує, скільки раз та чи інша варіанта зустрічається в таблиці даних, наз. частотою. Відношення частоти варіанти до об’єму вибірки n наз. відносною частотою, причому, сума усіх відносних частот .

Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n.

Приклад . На відрізок довжиною   навмання ставлять дві точки, в результаті чого цей відрізок розподіляється на три частини. Визначити ймовірність того, що з трьох отриманих частин відрізка можна побудувати трикутник.

4. Сформулювати теореми: а) про ймовірність суми двох подій; б) про ймовірність суми двох несумісних подій; в) про ймовірність суми декількох попарно несумісних подій. Навести приклади.

Сумою A+B двох подій A і B називають подію, яка полягає в появі події А, або події В, або обох цих подій. Н.: якщо із рушниці зроблено два вистріли і А – попадання при першому вистрілі, В – попадання при другому вистрілі, то А+В – попадання при першому вистрілі, або при другому, або під час обох вистрілів.

Теорема додавання імовірностей несумісних подій. Ймовірність появи однієї іх двох несумісних подій, без різниці якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Наслідок. Імовірність появи однієї із декількох попарно несумісних подій, без різниці якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

P(A1+A2+…+An) = P(A1)+P(A2)+…+P(An)

а) У ящику 10 червоних і 5 синіх гудзиків. Виймаються навмання два гудзики. Яка ймовірність, що гудзики будуть одноколірними? 

б) випадання герба і випадання цифри при киданні монети; 

5. Сформулювати теореми: а) про ймов добутку двох подій; б) про ймовірність добутку двох незалежних подій; в) про ймов добутку декількох подій, незалежних у сукупності. Навести приклади

а) Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї події на умовну ймовірність іншої, за умови, що перша подія вже відбулася:

Зауваження. Формула може бути узагальнена на три і більшу кількість множників. Наприклад, для трьох множників вона матиме вигляд:

Наприклад:

П27. З урни, в якій міститься 8 чорних і 5 білих куль, послідовно виймають чотири кулі. Яка ймовірність вийняти кулі в такій послідовності: біла, чорна, біла, чорна?

Б) Ймовірність добутку двох незалежних подій А і В дорівнює добутку їх ймовірностей,

Тобто

Наслідок 3. Якщо події A і B незалежні, то незалежними будуть також події

Наприклад:

П28. Троє студентів складають іспит з теорії ймовірностей. Ймовірність скласти іспит для першого студента дорівнює 0,7, для другого – 0,8, для третього – 0,9. Знайдемоймовірності наступних подій: іспит складе рівно два студенти, A іспит складуть всі B іспит складе принаймні троє студентів, C один студент.