3.2. Метод штрафных функций

Основная идея метода штрафных функций состоит в преобразовании задачи минимизации функции с соответствующими ограничениями, наложенными на аргументы в задачу поиска минимума функции без ограничений.

Преимущество, которое получаем в результате такого перехода к новой функции, достигается за счет применения более простых алгоритмов.

Методы штрафных функций можно разделить на два класса: параметрические и непараметрические. Параметрические методы характеризуются наличием одного или нескольких параметров, входящих в структуру штрафной функции в качестве весовых коэффициентов.

Например, требуется найти минимум функции

при ограничениях

Введём функцию

Здесь выступает в роли штрафа. Штраф можно выбрать в виде

или в виде

где - некоторый положительный параметр.

Примеры выбора вида штрафной функции:

Пусть дана функция при ограничениях. Выберем штраф как

В результате минимизируем функцию

Другой пример. Требуется минимизировать функцию при ограничении

Прибавим к целевой функции значение, тогда получим функции без ограничений

Таким образом, метод штрафных функций определяются как выбором вида штрафа, так и выбором параметра.

Рассмотрим на конкретном примере один из параметрических методов, а именно метод внутренней точки.

Пусть требуется минимизировать функцию при ограничениях

Исходная точка поиска .

1. Строим функцию без ограничений, используя штраф

2. Пусть. Найдем минимум функции любым методом безусловной оптимизации, например, градиентным:

И так далее.

3. Уменьшаем

Минимизируем тем же градиентным методом, теперь за исходную точку принимаем

4. Вновь уменьшаем

Чем ближе к минимуму при, тем меньше градиент функции

Поиск заканчивается, если, где - малая положительная величина.

Графическая иллюстрация примера показана на рис.15.

Линии уровня функции есть концентрические окружности с центром в точке с координатами

3.3. ЗАДАНИЯ. Минимизировать при заданных ограничениях функцию с точностью .

4. МНОГОМЕРНЫЙ ПОИСК. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ [1,2]

Линейные модели - это такие модели, где математические зависимости линейны относительно всех переменных величин, включенных в моделей (т.е. содержат эти переменные в первой степени).

Методом решения таких задач, как уже говорилось, является линейное программирование. Слово “программирование” отражает здесь конечную цель исследования - определение оптимального плана или оптимальной программы, по которой из множества возможных вариантов исследуемого процесса выбирают по какому-либо признаку наилучший, оптимальный, вариант.

Примером такой задачи является задача оптимального распределения сырья между различными производствами при максимальной стоимости продукции.

Пусть из двух видов сырья изготавливается продукция двух видов.

Обозначим:

- число единиц продукции вида 1 и 2, соответственно;

- цена единицы продукции вида 1 и 2, соответственно;

Тогда общая стоимость всей продукции будет

В результате производства желательно, чтобы общая стоимость продукции была максимальной. R - целевая функция в данной задаче.

Обозначим:

- количество сырья 1-го и 2-го видов, имеющееся в наличии, - число единиц -го вида сырья, необходимое для производства единицы -го вида продукции.

Учитывая, что расход данного ресурса не может превышать общего его количества, запишем ограничительные условия по ресурсам:

Относительно переменных можно еще сказать, что они неотрицательны

Среди множества решений системы неравенств (32) и (33) требуется найти такое решение, для которого функция R достигает наибольшего значения.

В таком же виде формулируются так называемые транспортные задачи (задачи оптимальной организации доставки товаров, сырья или продукции из различных складов к нескольким пунктам назначения при минимуме затрат на перевозку) и ряд других.