Задача 3.3
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутренне потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки aij (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норма расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.
Требуется:
Проверить продуктивность технологической матрицы А=(aij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
-
Предприятия (виды продукции)
Коэффициенты прямых затрат aij
Конечный продукт Y
1
2
3
1
0,2
0,1
0,2
150
2
0,0
0,1
0,2
180
3
0,1
0,0
0,1
100
Решение
Чтобы проверить продуктивность матрицы А найдем обратную ей матрицу В. Для этого сначала вычтем матрицу А из единичной матрицы Е:
1
0 0 0,2 0,1 0,2 0,8 -0,1 -0,2
(Е-А) = 0 1 0 - 0 0,1 0,2 = 0 0,9 -0,2
0 0 1 0,1 0 0,1 -0,1 0 0,9
Чтобы рассчитать обратную матрицу, допишем к получившейся матрице единичную матрицу справа.
|
(Е-А) |
Y |
Е |
||||
А |
0,8 |
-0,1 |
-0,2 |
150 |
1 |
0 |
0 |
В |
0 |
0,9 |
-0,2 |
180 |
0 |
1 |
0 |
С |
-0,1 |
0 |
0,9 |
100 |
0 |
0 |
1 |
А1=А/0,8 |
1 |
-0,125 |
-0,25 |
187,5 |
1,25 |
0 |
0 |
В1=В+0*А1 |
0 |
0,9 |
-0,2 |
180 |
0 |
1 |
0 |
С1=С+0,1*А1 |
0 |
-0,0125 |
0,925 |
118,75 |
0,125 |
0 |
1 |
А2=А1+В2*0,125 |
1 |
0 |
-0,278 |
212,5 |
1,25 |
0,139 |
0 |
В2=В1/0,9 |
0 |
1 |
-0,222 |
200 |
0 |
1,111 |
0 |
С2=С1+В2*0,0125 |
0 |
0 |
0,922 |
121,25 |
0,125 |
0,014 |
1 |
А3=А2+С3*0,278 |
1 |
0 |
0 |
249,06 |
1,288 |
0,143 |
0,3 |
В3=В2+С3*0,222 |
0 |
1 |
0 |
229,19 |
0,03 |
1,114 |
0,24 |
С3=С2/0,922 |
0 |
0 |
1 |
131,5 |
0,136 |
0,015 |
1,084 |
Обратная матрица:
1
,288
0,143 0,3
0,03 1,114 0,24
0,136 0,015 1,084
Все элементы неотрицательны, значит матрица А – продуктивна.
Найдем Хij– распределение продукции между предприятиями.
Хij = aij*Xj
Х11 = 0,2*249,06 = 49,81
Х12 = 0,1*229,19 = 22,91
Х13 = 0,2*131,5 = 26,3
Х21 = 0*249,06 = 0
Х22 = 0,1*229,19 = 22,91
Х23 = 0,2*131,5 = 26,3
Х31 = 0,1*249,06 = 24,9
Х32 = 0*229,19 = 0
Х33 = 0,1*131,5 = 13,15
Межотраслевой баланс производства и распределения продукции
Производящие отрасли |
Потребляющие отрасли |
||||
1 |
2 |
3 |
Конечная продукция |
Валовая продукция |
|
1 |
49,81 |
22,91 |
26,3 |
150 |
249,02 |
2 |
0 |
22,91 |
26,3 |
180 |
229,21 |
3 |
24,9 |
0 |
13,15 |
100 |
138,08 |
Итого |
74,71 |
45,82 |
65,75 |
430 |
616,3 |