Задача 4.3
В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице.
Номер наблюдения (t = 1, 2, …, 9) |
||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
3 |
7 |
10 |
11 |
15 |
17 |
21 |
25 |
23 |
Требуется:
Проверить наличие аномальных наблюдений.
Построить линейную модель
(t)
= a0
+a1t,
параметры
которой оценить МНК (
(t))
—
расчетные, смоделированные значения
временного ряда).
Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%).
Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
Решение
1.Проверить наличие аномальных наблюдений.
Для выявления аномальных уровней временного ряда используем метод Ирвина:
t = yt - yt-1/Sy
=
14,67; Sy
= 7,52
-
t
y(t)
y(t) – y(t-1)
λt
1
3
–
–
2
7
4
0,53
3
10
3
0,4
4
11
1
0,13
5
15
4
0,53
6
17
2
0,27
7
21
4
0,53
8
25
4
0,53
9
23
2
0,27
Рассчитанные величины λt не превышают табличных значений критерия Ирвина: λтабл=1,5, следовательно, аномальных наблюдений нет.
2.Построим линейную модель.
Построим линейную однопараметрическую модель регрессии Y(t). Для этого воспользуемся MS Excel и встроенными функциями. Результат регрессионного анализа представлен в таблице.
-
Коэффициенты
Стандартная ошибка
t-статистика
Y-пересечение
1,166666667
1,049187138
1,111971949
t
2,7
0,186445447
14,48144774
Оценим параметры модели «вручную». Промежуточные расчеты параметров линейной модели приведены в таблице:
-
t
y(t)
t-tср
(t-tср)2
y(t) - y(t)ср
(t-tср)*( y(t) - y(t)ср)
1
3
-4
16
-11,67
46,68
2
7
-3
9
-7,67
23,01
3
10
-2
4
-4,67
9,34
4
11
-1
1
-3,67
3,67
5
15
0
0
0,33
0
6
17
1
1
2,33
2,33
7
21
2
4
6,33
12,66
8
25
3
9
10,33
30,99
9
23
4
16
8,33
33,32
Сумма
45
132
0
60
0
162
Ср.зн.
5
14,67
Рассчитаем параметры линейной модели.
а0 = y(t)ср- а1* tср = 14,67-2,7*5 = 1,17
Получим, Y=1,17+2,7*t. Т.е. при вычислении «вручную» получаем те же результаты.
3.Оценим адекватность построенной модели.
а) проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше или меньше соседних с ним элементов. Для этого каждый уровень ряда сравним с двумя соседними.
t |
Отклон. Е(t) |
Точ.пов. |
Е(t)^2 |
[E(t)-E(t-1)]^2 |
Е(t)*Е(t-1) |
|E(t)/y(t)| |
1 |
-0,867 |
|
0,7511 |
|
|
0,289 |
2 |
0,433 |
0 |
0,1878 |
1,69 |
-0,3756 |
0,062 |
3 |
0,733 |
1 |
0,5378 |
0,09 |
0,3178 |
0,073 |
4 |
-0,967 |
1 |
0,9344 |
2,89 |
-0,7089 |
0,088 |
5 |
0,333 |
1 |
0,1111 |
1,69 |
-0,3222 |
0,022 |
6 |
-0,367 |
1 |
0,1344 |
0,49 |
-0,1222 |
0,021 |
7 |
0,933 |
0 |
0,8711 |
1,69 |
-0,3422 |
0,044 |
8 |
2,233 |
1 |
4,9878 |
1,69 |
2,0844 |
0,089 |
9 |
-2,467 |
|
6,0844 |
22,09 |
-5,5089 |
0,107 |
Общее
число поворотных точек р = 5. В
случайном ряду чисел должно выполняться
строгое неравенство:
[2*(9-2)/3-2√(16*9-29)/90] = [2,7] = 2.
5>2 – неравенство выполняется, следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
б)
при проверке
независимости
определяется отсутствие в ряду
остатков систематической составляющей
с помощью d-критерия
Дарбина—Уотсона:
d`=
4 – 2,21=1,79
Сравним полученное значение с табличным. Решение попадает в интервал от d2 до 2, значит, гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. ряд остатков не коррелирован и модель адекватна по данному признаку.
в) соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим с помощью RS-критерия.
RS=
[εmax
– εmin]:Sε
RS = [2,2+2,5]:1,35 = 3,5
Расчетное значение RS попадает в интервал (2,7<3,479<3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
4.Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
t |
y(t) |
E(t) |
|E(t)|/y(t) |
1 |
3 |
-0,867 |
0,289 |
2 |
7 |
0,433 |
0,062 |
3 |
10 |
0,733 |
0,073 |
4 |
11 |
-0,967 |
0,088 |
5 |
15 |
0,333 |
0,022 |
6 |
17 |
-0,367 |
0,021 |
7 |
21 |
0,933 |
0,044 |
8 |
25 |
2,233 |
0,089 |
9 |
23 |
-2,467 |
0,107 |
Сумма |
|
|
0,795 |
Еотн = 0,795/9*100% = 8,83 %
Ошибка не превосходит 15% модель можно считать приемлемой по точности.
5.По построенной модели осуществим прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%). Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующее значение:
Y=1,167+2,7*t
Y=1,167+2,7*10=28,167 – на 10-ую неделю;
Y=1,167+2,7*11=30,867 – на 11-ую неделю.
Для учета случайных колебаний при прогнозировании рассчитаем доверительные интервалы: Примем значение уровня значимости α = 0,3 следовательно, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при v = п — 2 = 7 равен 1,12. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:
,
где
Далее, вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза. Получили интервальный прогноз:
п + к |
U(k) |
Прогноз |
Формула |
Верхняя граница |
Нижняя граница |
10 11 |
U(l) = 1,9 U(2) = 2,1 |
28,2 30,9 |
Прогноз + U(1) Прогноз - U (2) |
30,1 33,0 |
26,3 28,8 |
6.Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представим графически.
