- •В 11. Векторы в пространстве: линейные операции над векторами в геометрической форме, проекция вектора на ось
- •В.15 Линейная зависимость векторов. Действиянад векторами в координатной форме
- •В.13 Векторное произведение
- •В.14 Смешанное произведение
- •Плоскость в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •. Поверхности второго порядка
- •Предел функции в точке и на бесконечности
- •II способ. Чтобы избавится от неопределенности вида , введем замену переменной , т.К. При получим .
- •. Односторонние пределы: Асимптоты графика функции.
- •Дифференцирование функции с переменной в основании степени и в показателе
- •Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.
. Односторонние пределы: Асимптоты графика функции.
Пример 1. Найти односторонние пределы функции в точке :
1) , ; 2)
Решение. 1. Вычислим пределы функции в точке слева и справа, т.е.
и .
При .
Значит .
При .
Значит .
2. При функция задана формулой .
Поэтому
,
При функция задана формулой т.е.
Значит .
Пример 2. С помощью односторонних предметов показать, что функция не имеет предела в точке.
Решение. При имеем и функция принимает вид
.
Поэтому .
При имеем и функцию .
Поэтому .
Получим, что оба односторонних предела функции в точке существуют, однако они различны, поэтому не существует.
Пример 3. Найти асимптоты графика функции .
Решение. Вертикальных асимптот данная функция не имеет, потому что она определена для любых . Для того чтобы найти горизонтальные асимптоты надо рассмотреть пределы функции на бесконечности:
.
Получили, что – горизонтальная асимптота (ось ).
Будем искать наклонные асимптоты в виде .
Согласно формулам (25), (26) вычисляем:
.
Так как , значит наклонных асимптот у графика нет.
Пример 4. Найти асимптоты графика функции
.
Решение. Так как при функция не определена, рассмотрим:
и
Вычисляем: ;
Поэтому прямая является вертикальной асимптотой графика функции.
Ищем горизонтальную асимптоту. Поскольку
,
то горизонтальных асимптот нет.
Выясним наличие наклонных асимптот. По формулам (25) и (26) находим
.
Получим, что – наклонная асимптоты.
. Непрерывность функции. Классификация
точек разрыва.
Пример 1. Пользуясь определением непрерывности доказать, что функция непрерывна всюду на .
Решение. Докажем непрерывность этой функции в произвольной точке .
Пусть – приращение аргумента в точке . Соответствующее приращение функции имеет вид:
Вычислим предел приращения функции, когда приращение аргумента стремится к нулю:
.
Получили, что , что и означает непрерывность функции на всей числовой прямой, т.к. – произвольная действительная точка.
Пример 2. Найти точки разрыва функции и исследовать их характер. Построить схематический чертеж графиков этих функций в окрестности точек разрыва
1) ;
Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме . Данная функция является элементарной, следовательно она является непрерывной в каждой точке своей области определения. Поэтому единственной точкой разрыва является точка , в которой функция не определена. Для определения типа разрыва в этой точке вычислим односторонние пределы функции:
; .
Приходим к выводу, что – точка разрыва II рода (бесконечного скачка).
График функции в окрестности точки представлен на
2. .Точкой разрыва данной функции является точка .
Вычислим односторонние пределы заданной функции в точке .
Получили, что оба односторонних предела существуют (и конечны), но не равны между собой. Поэтому – точка разрыва I рода (скачка) – рис.2. Заметим, что скачок равен:
.
Пример 3. Дана функция
Исследовать ее на непрерывность и разрыв. Построить график.
Решение. На промежутках заданы аналитические выражения элементарных функций, которые определены и, следовательно, непрерывны на каждом промежутке. Поэтому точками «подозрительными на разрыве», являются точки и .
Вычислим односторонние пределы функции в точке .
Так как при , то
.
Так как при , то
.
Вычислим значение функции в точке :
.
Получим, что выполнены условия непрерывности функции в точке . Поэтому в точке разрыва функции нет.
Вычислим односторонние пределы функции в точке .
Так как при , то
.
Так как при , то
.
Получили, что – точка разрыва I рода (скачка). Значит, функция непрерывна всюду на числовой прямой кроме точки. в которой она имеет скачок, равный 1.