Предел функции в точке и на бесконечности
Пример 1. Пользуясь определением предела функции в точке по Коши, доказать, что
Решение.
Зафиксируем
произвольное значение
Согласно определению,
требуется по
найти такое число
чтобы
из условия
следовало неравенство (2), которое в
данном случае имеет вид
(6)
Упрощая последнее неравенство, получим
Следовательно,
если принять
то из неравенства
будет следовать неравенство (6). Это и
означает, что
Пример 2.
Вычислить
Решение.
Представим функцию
как произведение двух функций
и
Функция
является суммой двух бесконечно малых
функций при
так как
и
Значит
– бесконечно малая при
Функция
является ограниченной, так как значения
этой функции будут лежать в промежутке
Получаем произведение
бесконечно малой
на ограниченную
Значит f(x)
– есть бесконечно малая при
т. е.
Пример 3. Вычислить предел функции в точке двумя способами: непосредственно и с помощью замены переменной:
Решение.
I
способ. При
подстановке в выражение, стоящее под
знаком предела значения
получаем неопределенность
,
для раскрытия которой разложим числитель
и знаменатель дроби на множители.
,
.
Подставив полученные выражения, получим:
.
II способ. Чтобы избавится от неопределенности вида , введем замену переменной , т.К. При получим .
=
.
Замечательные пределы
Первый замечательный предел
(7)
Как следствие формулы (7) справедливы формулы
Второй замечательный предел
(8)
Третий
замечательный предел
(9)
в частности,
Четвертый замечательный предел
(10)
в частности,
Пятый замечательный предел
(11)
Указанные формулы
(7)–(11) замечательных пределов обобщаются
на любую функцию u(x),
стоящую вместо независимой переменной
х
при условии, что
если
(или
)
во всех формулах кроме (8), в которых
Обобщенная таблица замечательных пределов
;
;
;
(12)
;
;
(13)
;
;
(14)
. (15)
При использовании
обобщенных форму на практике вместо
(под
знаком предела пишут указанное в условии:
.
Все приведенные
формулы обобщенной таблицы замечательных
пределов (кроме формул (12)) раскрывают
неопределенность типа
.
Формулы (12) раскрывают неопределенность
типа
.
Пример 1. Вычислить предел функций в точке:
Решение.
1. 1)
;
При непосредственной подстановке
в функцию значения
получаем неопределенность вида
,
для раскрытия которой воспользуемся
первым замечательным пределом.
2. 2)
;
При
получаем неопределенность
,
для раскрытия которой сначала применим
формулы тригонометрии, а затем первый
замечательный предел.
.
3. )
Преобразуем вначале разность косинусов
в произведение, а затем используем 1-й
замечательный предел:
=
=
Пример 2. Вычислить предел функции, используя обобщенную таблицу замечательных пределов.
ешение. 1.
1)
;
Воспользуемся второй формулой
из (12):
В данном случае
и
,
если
,
значит
.
2.
;
Непосредственная подстановка в функцию
значения
дает неопределенность вида
,
для раскрытия которой воспользуемся
второй формулой из (12). Для этого
преобразуем выражение под знаком
предела.
=
=
=
=
.
3.
;
При
получаем неопределенность
для раскрытия которой сначала упростим
выражение, а затем применим формулы
(7), (13), (15):
=
=
=
=
.
4.
.Имеем
неопределенность вида
.
Сделаем замену переменной. Пусть
,
тогда
.
При
новая переменная
.
При этом
,
,
а
Подставив полученные выражения в формулу, получим
=
Эквивалентность функции
Пример 1. Вычислить предел функции в точке, заменяя бесконечно малые эквивалентными им:
.1)
;Непосредственное
вычисление предела приводит к
неопределенности типа
.
Используем формулу (16), а также формулы
(22), (24), (17) таблицы эквивалентных функций.
При этом
выполняются условия
,
,
если
,
которые являются обязательными для
перехода к эквивалентным функциям.
Тогда
Заметим, что решение примера с таким условием уже дано выше (см. 3-е условие примера 2 из параграфа 16.2).
2)
;При
подстановке
в выражения, получаем неопределенность
вида
.
Чтобы от нее избавится, воспользуемся
формулами (18), (23), (24) таблицы эквивалентных
бесконечно малых. Получим, что при
,
.
.
Подставив полученные эквивалентные вместо соответствующих бесконечно малых, получим:
3. Преобразуем
выражение, стоящее под знаком предела
и используем формулу (19). 3)
;
Использование
формулы (19) было обосновано тем, что
если
.
4)
.
Замечаем, что непосредственное вычисление
предела приводит к неопределенности
.
Вместе с тем,
,
если
,
а поэтому можем использовать формулу
(20). Тогда
.
Пример 2.
Вычислить предел:
.
Решение.
I
способ. При
получим, что
и
Следовательно,
получим неопределенность вида
.
Сделаем замену переменной. Введем такое
t,
чтобы
,
если
.
=
.
Дальше заменим бесконечно малые в числителе и знаменателе на эквивалентные по формулам (21), (23), (22), (18).
Мы имеем право
сделать это в преобразованных выражениях,
т.к. для соответствующей функции
выполняется
,
если
.
Получаем:
=
.
II
способ. Поскольку
при непосредственном вычислении предела
имеем неопределенность типа
,
то необходимо преобразовать выражение,
стоящее под знаком предела. Однако сразу
использовать таблицу эквивалентности
бесконечно малых нельзя поскольку
,
,
если
.
Используем свойство периодичности
тригонометрических функций, получим
Выражение
под знаком предела преобразовано таким
образом, что
и
,
если
.
Поэтому можно использовать формулы
эквивалентности (21), (23), (22), (18). В результате
получаем
