В.14 Смешанное произведение
Пример 1.
Векторы
образуют правую тройку, взаимно
перпендикулярны и
Вычислить их смешанное произведение.
Решение.
По определению,
.
Вектор
образует с
и
правую тройку, причем
Значит
Кроме того,
Тогда
Пример 2.
Вычислить
и определить ориентацию этой тройки
векторов, если
Найти объем параллелепипеда, построенного
на векторах
приведенных к общему началу.
Решение.
Поскольку смешанное
произведение отрицательно, тройка
векторов
является левой. Находим объем
параллелепипеда:
Пример 3. Доказать, что точки A(1, 2, –1), B(0, 1, 5), C(–1, 2, 1) и D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.
Решение. Рассмотрим три вектора
Согласно формуле (10) их смешанное произведение:
а это значит, что
векторы
– компланарны и лежат в одной плоскости,
т. к. имеют общее начало. Таким образом,
точки A,
B,
C,
D
лежат в одной плоскости.
Пример
4.
Вычислить объем треугольной пирамиды
OABC,
если
Решение.
,
где
– объем параллелепипеда, построенного
на векторах
Согласно геометрическому смыслу смешанного произведения
.
Поскольку
то получаем
Плоскость в пространстве
Пример
1.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку
,
параллельно векторам
и
.
Решение.
Поскольку векторы
и
не коллинеарны (их координаты не являются
пропорциональными), то согласно (1),
составим уравнение:
Преобразуем левую часть:
Таким образом общее уравнение искомой плоскости
Пример 2.
Составить уравнение плоскости P,
проходящей через точки
и
параллельно вектору
.
Решение.
Векторы
и
неколлинеарны. Поэтому, согласно (1),
уравнение плоскости имеет вид
т. к. векторы
и
компланарны. Здесь
Откуда получаем общее уравнение
Можно рассуждать
при построении уравнения также следующим
образом. В качестве нормального вектора
плоскости P
может быть взят вектор
Тогда уравнение плоскости согласно формуле (2) примет вид:
или
Пример
3.
Записать уравнение плоскости
1) «в отрезках»; 2) в параметрическом виде
Решение.
1) Перепишем уравнение плоскости в виде
откуда после деления на –2 получим
искомое уравнение «в отрезках»:
2) Из полученного
уравнения «в отрезках» имеем: точки
и
лежат в плоскости P.
тогда в качестве двух неколлинеарных
векторов
и
,
параллельных плоскости P,
можно взять
и
Тогда векторно-параметрическое уравнение
плоскости примет вид
откуда в координатной форме получим:
Это и есть параметрическое уравнение плоскости P.
Пример 4. Привести
к нормальному виду уравнение плоскости
Решение.
Так как свободный член уравнения
плоскости
то нормирующий множитель
Тогда нормальным уравнением будет
Значит,
а расстояние от начала координат до
плоскости равно 3.
Пример 5.
Составить уравнения плоскостей,
параллельных плоскости
и отстоящих от нее на расстояние
Решение.
Пусть
– точка искомой плоскости. Тогда
и
Отсюда уравнения искомых плоскостей
и
Пример 6.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки A(1,
0, –1), B(1,
3, –4) и образующей угол
с плоскостью
Решение. Не ограничивая общности. Будем искать уравнение плоскости в виде
Поскольку точки A(1, 0, –1) и B(1, 3, –4) лежат в искомой плоскости, то их координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости. Значит имеем
откуда
Подставим найденные значения D
и B,
выраженные через C,
в уравнение плоскости:
Следовательно,
нормальный вектор
.
Воспользуемся тем,
что плоскость образует угол
с плоскостью
нормальный вектор
которой
.
По формуле косинуса угла между плоскостями
имеем:
откуда
или
Находим C,
преобразовывая последнее равенство:
Имеем окончательно уравнение плоскостей:
Уравнение прямой в пространстве. Взаимное
расположение прямых
Пример 1. Составить канонические уравнения прямой:
1) проходящей через
точку
параллельно вектору
2) проходящей через
две заданные точки
и
3) заданной общими уравнениями
Решение.
1) Пусть
– произвольная точка искомой прямой.
Тогда
т. е. их координаты пропорциональны.
Т. к.
то имеем соотношения:
которые и представляют собой канонические уравнения прямой с заданными свойствами на плоскости.
2) Пусть
– произвольная точка прямой. Тогда
векторы
и
– коллинеарны, т. е. их координаты
пропорциональны.
Т. к.
то имеем:
Это и есть искомый результат.
3)
Для перехода от общих уравнений прямой
L
к каноническим обычно поступают следующим
образом. Подбирают какую-либо точку
фиксируя числовые значения одной из
координат и решая относительно нее
систему двух линейных уравнений с двумя
неизвестными. Затем находят направляющий
вектор
прямой L
как векторное произведение нормальных
векторов плоскостей, задающих L.
Проиллюстрируем на примере.
– направляющий
вектор плоскости
,
– нормальный вектор плоскости
Тогда вектор
.
Определим его координаты:
Для нахождения
точки
зафиксируем одно из координатных
значений, например,
Тогда, подставив в заданные общие
уравнения
получим:
или
т. е.
.
Таким образом, искомые канонические уравнения
Пример 2.
Докажите, что прямые
и
параллельны, и найдите расстояние между
ними, если они заданны параметрическими
уравнениями:
и
Решение.
Прямая
имеет направляющий вектор
,
а
–
причем
т. к.
Значит,
Найдем расстояние
между ними, используя формулу расстояния
от точки до прямой.
Тогда
где
и
– радиус-векторы точек
и
.
Значит,
Пример 3.
Докажите, что прямые
и
пересекаются, и найдите координаты
точки пересечения, если они заданны
параметрическими уравнениями:
и
Решение.
причем
.
Значит
.
Прежде всего,
определим, лежат ли прямые в одной
плоскости, т. е. являются ли векторы
и
компланарными (здесь
).
Найдем для этого их смешанное произведение:
Значит, прямые лежат в одной плоскости и не параллельны. Следовательно они пересекаются.
Найдем их точку
пересечения
.
при подстановке в
уравнение
.
Значит,
Итак,
Пример 4.
Докажите, что прямые
и
скрещиваются, и найдите расстояние
между ними, если они заданы параметрическими
уравнениями:
и
Решение.
причем
.
Значит
.
Определим, компланарны ли они. Т. к.
то условием компланарности прямых
служит компланарность векторов
и
.
Найдем смешанные произведения этих
векторов:
Значит, указанные
векторы, а вместе с ними и прямые
и
не лежат в одной плоскости.
Прямые
и
скрещиваются, т. к. они не пересекаются
и не параллельны. Найдем расстояние
между ними по формуле:
Итак,
