. Односторонние пределы: Асимптоты графика функции.
Пример 1.
Найти односторонние пределы функции
в точке
:
1)
,
; 2)
Решение.
1. Вычислим
пределы функции в точке
слева и справа, т.е.
и
.
При
.
Значит
.
При
.
Значит
.
2. При
функция
задана формулой
.
Поэтому
,
При
функция задана формулой
т.е.
Значит
.
Пример 2. С
помощью односторонних предметов
показать, что функция
не имеет предела в точке.
Решение. При
имеем
и функция принимает вид
.
Поэтому
.
При
имеем
и функцию
.
Поэтому
.
Получим, что оба
односторонних предела функции в точке
существуют,
однако они различны, поэтому
не существует.
Пример 3. Найти
асимптоты графика функции
.
Решение.
Вертикальных
асимптот данная функция не имеет, потому
что она определена для любых
.
Для того чтобы найти горизонтальные
асимптоты надо рассмотреть пределы
функции на бесконечности:
.
Получили, что
– горизонтальная асимптота (ось
).
Будем искать
наклонные асимптоты в виде
.
Согласно формулам (25), (26) вычисляем:
.
Так как
,
значит наклонных асимптот у графика
нет.
Пример 4. Найти асимптоты графика функции
.
Решение.
Так как при
функция не определена, рассмотрим:
и
Вычисляем:
;
Поэтому прямая
является вертикальной асимптотой
графика функции.
Ищем горизонтальную асимптоту. Поскольку
,
то горизонтальных асимптот нет.
Выясним наличие наклонных асимптот. По формулам (25) и (26) находим
.
Получим, что
– наклонная асимптоты.
. Непрерывность функции. Классификация
точек разрыва.
Пример 1. Пользуясь
определением непрерывности доказать,
что функция
непрерывна всюду на
.
Решение. Докажем
непрерывность этой функции в произвольной
точке
.
Пусть
– приращение аргумента в точке
.
Соответствующее приращение функции
имеет вид:
Вычислим предел приращения функции, когда приращение аргумента стремится к нулю:
.
Получили, что
,
что и означает непрерывность функции
на всей числовой прямой, т.к.
– произвольная действительная точка.
Пример 2.
Найти точки разрыва функции
и исследовать их характер. Построить
схематический чертеж графиков этих
функций в окрестности точек разрыва
1)
;
Решение. Функция
определена на всей числовой прямой,
кроме
.
Данная
функция является элементарной,
следовательно она является непрерывной
в каждой точке своей области определения.
Поэтому единственной точкой разрыва
является точка
,
в которой функция не определена. Для
определения типа разрыва в этой точке
вычислим односторонние пределы функции:
; 
.
Приходим к выводу,
что
– точка разрыва II
рода (бесконечного скачка).
График функции
в
окрестности точки
представлен на
2.
.Точкой
разрыва данной функции является точка
.
Вычислим односторонние
пределы заданной функции в точке
.
Получили, что оба
односторонних предела существуют (и
конечны), но не равны между собой. Поэтому
– точка разрыва I
рода (скачка) – рис.2. Заметим, что скачок
равен:
.
Пример 3. Дана
функция
Исследовать ее на непрерывность и разрыв. Построить график.
Решение.
На промежутках
заданы аналитические выражения
элементарных функций, которые определены
и, следовательно, непрерывны на каждом
промежутке. Поэтому точками «подозрительными
на разрыве», являются точки
и
.
Вычислим односторонние
пределы функции в точке
.
Так как
при
,
то
.
Так как
при
,
то
.
Вычислим значение
функции в точке
:
.
Получим, что
выполнены условия непрерывности функции
в точке
.
Поэтому в точке
разрыва функции нет.
Вычислим односторонние
пределы функции в точке
.
Так как
при
,
то
.
Так как
при
,
то
.
Получили, что
– точка разрыва I
рода (скачка). Значит, функция непрерывна
всюду на числовой прямой кроме точки.
в которой она имеет скачок, равный 1.