Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

РЕШЕНИЕ.

1.Поскольку дифференциальное уравнение не содержит у, то по­ лагая у' = р{х)^ имеем у" = р'{х). Получаем дифференциальное урав­ нение первого порядка

( Ц - ж ^ У + 2жр = 12ж^.

2. Уравнение

2х 12а;^

Р^T-T-z^P-

линейное относительно р и р'. Решая его, например, методом вариа­ ции произвольной постоянной, находим

Зж^ + С

3. Так как р = у'{х), имеем

, _Зх^ + С

^ ~ 1+а;2 •

Интегрируя, получим общее решение у = {С + 3) arctga; + x^ — Заг + Сг-

5.2/ = ^ +у+С1ж1п|гг|Н-С2Х + Сз.

6.2/ = sin(Ci -f ж) + С2 ж + Сз.

7.ж - C i =ln|sin(t/ - C2)| .

S. у = Cix^ Ппж - ^ ) + С2Х + Сз.

9.2/ = Ciln|a;| - —Ч-С2.

11.8. Уравнения вида F[y^y'^у'^) = О

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти решение задачи Коши для диффе­ ренциального уравнения

F{y,y',y")^0

С начальными условиями

у{хо) = 2/0, у'{хо) = 2/0-

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно не­ зависимой переменной ж, полагаем

2/' =Р{у)^

где р{у) — новая неизвестная функция. Тогда по формуле для произ­ водной сложной функции имеем

Получим уравнение первого порядка относительно р{у)

2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим р = f{y,C), где С — произвольная посто янная.

3.Используя начальные условия (оба), находим С = Ci.

4.Подставляя Ci, получаем дифференциальное уравнение с раз­ деляющимися переменными

Разделяя переменные в области, где /(у, Ci) Ф О, получаем

dy

Цу.Сг) dx

и, интегрируя, находим ж = (/?(?/,Ci,C2).

Проверяем, не является ли решение f{y,Ci) =0 особым решением исходного уравнения, удовлетворяюпдим начальным условиям.

5. Используем начальные условия для нахождения второй посто­ янной (72 (значение Ci уже было найдено в п. 3) и получаем решение задачи Коши.

Ответ записываем в виде у = у{х) или х = х{у).

ПРИМЕР. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

у"у^ + 1 = 0

с начальными условиями

у(1) = - 1 , у\1) = -1.

РЕШЕНИЕ.

1.Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно не­ зависимой переменной ж, полагаем

у' =р{у),

где р{у) — новая неизвестная функция. Тогда по формуле для произ­ водной сложной функции имеем

Получим уравнение первого порядка относительно р{у)

•РГ = - 1 . dy'

2. Разделяя переменные и интегрируя, находим

т.е.

4 + ^1

(знак минус мы выбрали из начального условия у'(Х) — ~1 < 0-)

3. Из начальных условий (обоих) имеем у' — —1 при у = — 1. Отсюда, Ci = 0. Учитывая, что в силу первого начального условия 2/ < О и, следовательно, \у\ — —у, получаем

У

4.Разделяя переменные и интегрируя, находим

5.Из начального условия у{1) = —1 получим С2 = 1/2. Следова­ тельно,

?/ = -\/2х - 1.

(Знак минус мы выбрали из начального условия у{1) = —1 < 0.)

Ответ, у = —у/2х — 1.

Условия ЗАДАЧ. Найти решения задач Коши для дифференци­

и ищем его решение в виде у = е^^, где Л — неизвестное число. Подставляя у — е'^^, у' — Ле^^ и у" = Л^е'^^ в уравнение (2) и

сокращая е^^, получаем так называемое характеристическое уравне­ ние

2. Решаем характеристическое уравнение. Обозначим корни ха­ рактеристического уравнения Ai и Л2. Тогда фундаментальная сис­ тема решений и общее решение уравнения (2) записываются в одном из следующих трех видов:

а) если Ai и А2 вещественны и Ai т^ А2, то фундаментальная сис­ тема решений — это у\ = е^^^, 7/2 = е^^^ и общее решение имеет вид

Уо.о. =Cie^^^ + C2e^^^;

б) если Ai и А2 вещественны и Ai = А2, то фундаментальная сис­ тема решений — это у\ = е^^^, у^ — хе^^^ и общее решение имеет вид

Уо.о. =Cie^^^+C2a:e^^";

в) если Ai и А2 комплексные, т.е. Ai,2 = о:±г/3, то фундаментальная система решений — это yi = е"^ cos/За:, у2 = е"^ sin/За; и общее реше­ ние имеет вид

т/о о z= e'^'^(Ci cos/За: 4- Сг sin/За:).

3. Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения имеет вид

где Рк{х) и Qk{x) — многочлены степени к = max{n,77i} с неопреде­ ленными коэффициентами;

если а± ib есть корень характеристического уравнения(З) крат­ ности S, то

2/ч.н. = х^ e''''[Pk{x) cosbx + Qk{x) s'mbx],

где Pk{x) и Qk{x) — многочлены степени к = max{n,m} с неопреде­ ленными коэффициентами.

4. Нсьходим неопределенные коэффициенты, подставляя т/ч.н. в ис­ ходное уравнение.

Записываем ответ по формуле (1).

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решаются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами любого порядка.

РЕШЕНИЕ.

1.Записываем соответствуюш;ее однородное уравнение

и иш;ем его решение в виде у — е^^, где Л — неизвестное число. Подставляя у = е^^, у' — \е^^ и у" = У^е^^ в уравнение (6) и

сокращая е^^, получаем характеристическое уравнение

Л^ -h 1 = 0.

2. Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопря­ женных корня Ai^2 = i^-

Имеем фундаментальную систему решений

Ух •=• cos ж, у2 = sinx

и общее решение однородного уравнения (6) Уо.о. = С\ cos ж + С2 sin ж.

3. Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения

(5). В нашем случае правая часть неоднородного уравнения имеет вид (4) с а = О, Ь = 1, 71 = О, m = 1.

Так как характеристическое уравнение имеет комплексные корни а ± гЬ = ±i кратности s = 1 и max{n, т } = 1, то частное решение ищем в виде

Уч.н. = x[{Aix-}- А2) cosX-\- {Bix-\- 52)sinx],

где Ai, А2, Bi, B2 — неизвестные числа (неопределенные коэффи­ циенты) .

4. Находим неопределенные коэффициенты, дифференцируя г/ч.н. два раза и подставляя в уравнение (5).

Приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства при cos ж, xcosx, sinx, ж sin а:, получаем четыре уравнения

f 2Ai -Ь 2Б2 = О, 4Б1 = О,

-2^2 + 2Bi = О,

-4Ai = 1,

из которых определяем Ai = —1/4, А2 = О, Bi = О, Б2 = 1/4. Таким

образом,

о

ХX

?/ч.н. — ~~г COS Ж + —sin Ж.

По формуле (1) находим общее решение неоднородного уравнения

X X

у = Ci COS а; + С2 sin а; — - - cos ж + — sin х.

Условия ЗАДАЧ. Найти общие решения дифференциальных урав­ нений.

4.у = Ci cos ж 4- С2 sin ж — •- а: cos ж.

5.2/= CiCosa; + С г з ш х + xcosa; + x'^sina;.

9.г/= Ci e^ + C2e~^ + 2со8ж - sinx.

10.у — [C\ cos4a; + C2sin4x)e^^ -h - r r (14 cos ж + 5 sin ж).

11Л0. Принцип суперпозиции

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти общее решение линейного диффе­ ренциального уравнения п - го порядка с постоянными коэффициен­ тами

И Yi (г = 1,2,..., /с) — какое-нибудь частное решение каждого урав­ нения