Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)
.pdf350 |
Гл. 14. Теория поля |
РЕШЕНИЕ.
1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением F{x^y^z) == О, определяется формулой
. grad F
Щ = ±-.
"|gradF|'
В данном случае F{x^ ?/, z) = ж^ + т/^ — 1 и, следовательно,
По = ±\Jx^ + у'^
Учитывая что нормали должны образовывать острый угол с осью ОХ при X > О, т.е. cos о; > О при ж > О, и тупой угол с осью ОХ при а: < О, т.е. cos а < О при х < О, выбираем в этой формуле знак плюс.
2. Находим скалярное произведение
^ P{x,y,z)x-VQ{x,y,z)y |
/ 0 . |
2 |
|
(а. По) = |
7 = т = ? |
"" V ^ |
+ 2/ • |
3. Согласно формуле (1) поток определяется поверхностным ин тегралом:
П = |
{a,no)da = / / у/х^~+^da. |
4. Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные координаты
"^ X = gcosif, у = gsiiKf,
Z — Z.
вэтих координатах поверхность задается условиями
О< (^ < 27Г,
О< Z < 2.
Поскольку с/а = 1- с/<^с?гиж^4-2/^ = 1, имеем
27Г^ Z2
dz.
оо
352 |
Гл. 14. Теория полл |
вырезаемую плоскостью |
z = О {z > 0) {нормаль внешняя к замкну |
той поверхностей^ образуемой данными поверхностями).
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ПО определению поток П векторного поля а через поверхность S с полем единичных нормалей по определяется форму
лой |
|
П = ff{a,rio)da. |
(1) |
1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением F{xj 2/, z) — О, определяется формулой
grad F
По = ±-:IgradFr
У сферы, очевидно, внешняя нормаль в каждой точке совпадает с радиусом-вектором этой точки, т.е.
{x,y,z}
По —V/X2 + i/2 + z2
2. Находим скалярное произведение:
._ ^ . P{x,y,z)x-\-Q{x,y,z)y-hR{x,y,z)z
V^^ -\-у^ + z^
3. Согласно формуле (1) поток определяется поверхностным ин тегралом:
П = |
{a,no)dcr= / / |
f{x,y,z)da. |
ЕЕ
4.Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные коор динаты
^ж = ^ cos (^ sin б,
у = ^sin(^sin^,
Z = QCOSO.
вэтих координатах поверхность задается условиями
О< (/? < 27Г,
О< ^ < 7г/2.
354 |
Гл. 14. Теория ПОЛЛ |
Вэтих координатах поверхность задается условиями
^= 3,
О< V? < 27Г.
Поскольку dcr = 9 sin^d^^c?^, имеем
|
|
|
|
|
|
27Г |
7г/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
= |
/ |
" " |
/ 9-3sini9dl9 = 547r. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|
о |
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
П = 547Г ед. потока. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Условия |
ЗАДАЧ. Найти |
поток векторного поля а через |
часть |
|||||||||||
сферы., вырезаемую |
плоскостью |
z = О (^ > 0). |
|
|
|
|||||||||
1. |
а = |
(х + x'^z)i + yj |
+ {z — х^)к, |
x^ 4- 2/^ + 2^ = 4. |
|
|||||||||
2. |
а- |
хгЛ- {у + y'^z'^)] + {z - |
|
zy^)k, |
x^ -f 2/^ + z^ = 4. |
|
||||||||
3. |
а = {х + z)i + УЗ -\- {z — х)к, |
x2 + 2/^ + ^2 = 4. |
|
|||||||||||
4. |
а = {х -\- х'^у)г + {у — x^)j |
|
-f- zk^ |
x^ H- 2/^ + z^ = |
1. |
|
||||||||
5. |
а = {х + yz)i |
+ yj |
+ {z - |
xy)k, |
x2+2/2 4-z2 = 1. |
|
||||||||
6. |
a = |
жг 4- (2/ 4- xyz)j |
-\-{z - |
xy'^)k, |
x2 + 2/^ + 2:2 = ;^ |
|
||||||||
7. |
a = {x - |
xy'^)i + {x'^y + у)з |
+ zk, |
x2 + 2/2 4-z2 = 1. |
|
|||||||||
8. |
a = |
(x + |
2/>2:^)г + yj |
Л- {z - |
|
xyz)k, |
x^ + 2/^ + ^^ = 9. |
|
||||||
9. |
a = |
(x + 2/'2;)г + |
(^ — xz)j + |
zk, |
x^ + 2/2 + 2;^ = 4. |
|
||||||||
10. a = |
(x + xy'^z)i |
-\- {y — x'^yz)j + 2;^, |
x2 + 2/^ + 2^2 = 9. |
|
||||||||||
Ответы. |
1. |
1б7г ед. потока. 2. |
Хбтг ед. потока. |
3. Хбтг ед. потока. |
||||||||||
4. 27Г ед. |
потока. |
5. |
27г ед. |
потока. 6. |
27г ед. |
потока. |
7. |
27г ед. |
||||||
потока. 8. |
547Г ед. потока. 9. |
1б7г ед. потока. 10. ЪАтт ед. |
потока. |
14.5. Вычисление потока по формуле Остроградского |
355 |
14.5.Вычисление потока по формуле Остроградского
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти поток вект^орного поля
а = Р{х, у, г)г + Q{x, у, z)j + R{x, г/, z)k
через замкнут^ую поверхность Е [нормаль внешняя).
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ПОТОК векторного поля через замкнутую поверх ность Е в направлении внешней нормали вычисляется по формуле Остроградского
11= |
divadxdydz, |
(1) |
где Q — область, ограниченная поверхностью Е, и
_ 9 Р |
SQ |
OR |
дх' |
ду |
dz |
—дивергенция векторного поля а.
1.Вычисляем дивергенцию diva.
2.Задаем область О, неравенствами.
3.Вычисляем поток по формуле (1) как тройной интеграл
Записываем ответ, не забывая о размерности.
ПРИМЕР. Найти поток векторного поля
через замкнутую поверхность Е, являющуюся полной поверх ностью цилиндра
х2+у2 = 1, z = 0, z = l.
(нормаль внешняя).
14.6. Работа силы |
357 |
Условия ЗАДАЧ. Найти поток векторного поля а через |
замкну |
тую поверхность^ образованную заданными поверхностями {нормаль внешняя).
|
1. |
a = {xy'^ + yz)i-{-{x^y |
+ z'^)j + {x^ + z^/3)k, |
|
ж^ + 2/2 + z^ = 1, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = 0 |
( г > 0 ) . |
|||
|
2. |
a = {y-{-z'^)i + {x'^-^2yz)j-^{y'^-}-2z^)k, |
|
x'^ + y'^ = l-z, |
|
z = 0. |
|||||||||||||
|
3. |
a={2xy-{-y'^z)i-{-{2xy-}-x'^z)j-\-{xy-\-z'^)k, |
|
|
x'^+ y'^-\-z'^ = V2, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = 0 |
( z > 0 ) . |
|||
|
A. |
a = {x'^-\-y'^ + z'^)i + {xy + z)j + {x + 3z)k, |
|
x"^-\-y'^ = z'^, |
z = 4:. |
||||||||||||||
|
5. |
a = |
(3x2 -f у)г + (ж^ - 2x'^y + |
z)j |
+ {x^ - |
y'^)k, |
x^ + y'^ |
= |
1, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = 0, z = |
l. |
||
|
6. |
a = |
(x^ 4- 2/z)z + xj + yk^ |
z = 1 — x — y, |
x = 0, у = 0, z = 0. |
||||||||||||||
|
7. |
d= |
(z^ + xz)i-}- |
{xy - |
z'^)j + yzk, |
ж^ H- 2/2 = |
1, |
z = 0, |
z = л/2. |
||||||||||
|
S. |
a = |
(ж2 + |
X2/ + |
2;2)i* + |
{x^ |
+ 2/^ + l/'^^)/ + |
(у^ + z'^ + |
xz)k, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x'^ + y'^ + z'^ = 1, |
x^^-y^ |
= z^ |
(2:>0). |
||||||||
|
^. |
a = {xz-\-y^z)i-^{x?'z-2y)2^-xyk, |
|
x^-^y^^z^ |
= \, |
z = 0 (z > 0). |
|||||||||||||
|
10. |
a = |
|
(ж2/ + 2/^ + |
>2^)?+ (2^^^; + 2/^2^)/ + |
(x^ + xz)^, |
x^ + |
y^ |
= |
4, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = 0, z = 1. |
|||
|
Ответы. |
1. 27г/5 ед. потока. |
2. |
тг ед. потока. |
3. |
тг ед. потока. |
|||||||||||||
4. |
647Г ед. |
потока. |
5. |
—7г/2 ед. |
потока. |
6. |
|
1/12 |
ед. |
потока. |
|||||||||
7. |
7г ед. |
потока. |
8. |
Зтг/З ед. |
потока. |
9. |
— 137г/12 ед. |
потока. |
|||||||||||
10. |
27Г ед. |
потока. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14,6. Работа силы
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти работу силы
F = P{x,y)i + Q{x,y)j
при перемещении вдоль кривой L от точки M(xi,2/i) к точке N{x2,y2)'
358 |
Гл. 14. Теория поля |
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.Работа А силового поля равна криволинейному интегралу вто рого рода по кривой L:
А= f{F,dr)= |
I |
P{x,y)dx-VQ{x,y)dy. |
2. Вычисляем криволинейный интеграл. Записываем ответ, не забывая о размерности.
ПРИМЕР. Найти работу силы
F = |
{х-у)г+] |
при перемещении вдоль кривой L
х^^у^ = А (г/>0)
от точки М(2,0) к точке iV(-2,0).
РЕШЕНИЕ.
1. Работа А силового поля равна криволинейному интегралу вто рого рода по кривой L:
А=: j{F,dr)= l{x-y)dx + dy.
2. Вычисляем криволинейный интеграл. Для этого:
а) поскольку L — верхняя полуокружность, ее параметрические
уравнения записываем в виде |
|
|
|
|||
|
|
{ |
у = 2sint, |
- |
- |
|
Вычисляем dx = —2smtdt и dy = |
2costdt\ |
|
|
|||
б) переходим от криволинейного интеграла к определенному: |
||||||
А= |
{x-y)dx |
+ dy= |
[{2cost-2smt){-2smt) |
+ 2cost]dt = 27r. |
||
|
L |
|
о |
|
|
|
Ответ. А = 27г ед.работы.
|
|
14.7. Циркуляция векторного поля |
359 |
||||||||
Условия ЗАДАЧ. Найти работу силы F |
при перемещении вдоль |
||||||||||
заданной кривой |
от точки |
М |
к точке |
N. |
|
|
|||||
1. |
F = xUyj, |
|
х2-|-у2 = 4 |
(2/>0), |
М(2,0), iV(-2,0). |
||||||
2. |
F = x^l |
^2 + 2/2=4 |
( у > 0 , |
а;>0), |
М(2,0), iV(0,2). |
||||||
3. |
F = {x^ + y)i + {x^-y)l |
|
|
у = х\ |
|
М(-1,1), |
АГ(1,1). |
||||
4. |
F = 2xyi-i-x^j, |
2/ = 2x^ |
М(1,2), |
А^(2,1б). |
|
||||||
5. |
F = yi^2yl |
|
х2 + 2/^ = 1(2/>0), |
М(1,0), iV(-l,0). |
|||||||
6. |
F = xi-yj, |
|
х^ + у^ = 2{у>0), |
|
М(ч/2,0), |
N{-^2,0). |
|||||
7. |
F = 2yl |
х2+2/2 = 1(2/>0, |
а:>0), |
М(1,0), |
iV(0,1). |
||||||
8. |
F=-x^yi, |
х2-h 2/^=4 (i/>0, ж>0), |
|
М(2,0), |
АГ(0,2). |
||||||
9. |
F = (2/-x2)?+a:J, |
у = 2х\ |
М(0,0), iV(l,2). |
||||||||
10. F = y ? - x J , |
2/ = ^', |
М(0,0), |
N{2,S). |
|
|||||||
Ответы. 1. |
О ед.работы. |
2. |
—4 ед.работы. 3. |
4/3 ед.работы. |
4.62 ед.работы. 5. -тг ед.работы. 6. О ед.работы. 7. 1 ед.работы.
8.—7г ед.работы. 9. 5/3 ед.работы. 10. —8 ед.работы.
14.7.Циркуляция векторного поля
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти циркуляцию векторного поля а = Р{х, у, z)i-^ Q{x, у, z)j + R{x, г/, z)k
вдоль замкнутого контура Г
X = x{t)^ z = z{t),