ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти массу плоской пластины D с по верхностной плотностью fi = 1л{х,у)у ограниченной заданными кри выми.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Масса пластины D с поверхностной плотностью /i(x,2/) опреде ляется формулой
771= fi{x,y)dxdy.
D
2. Вычисляем полученный двойной интеграл. Записываем ответ, не забывая о размерности.
ПРИМЕР 1. Найти массу пластины D с поверхностной плотностью /i = 16х + 92/2/2, ограниченной кривыми
X = - , 2/ = О, 2/^ = 16х {у > 0).
РЕШЕНИЕ.
1. Масса пластины D с поверхностной плотностью /х = 16x4-92/^/2 определяется формулой
= лГ/* Л(l6x. +92'2^^) dxdy.
12.8. Вычисление массы плоской пластины
311
2. Вычисляем полученный двойной интеграл в декартовых коор динатах:
а) зададим область D системой неравенств:
Г
О < ж < 1/4,
\
О < 2/ <
4^Д.
Неравенство О < ж следует из того, что у'^ =
1бж, т.е. х неотрица
тельно;
б) перейдем от двойного интеграла к повторному:
1 / 4
^у/Х
/ / I 1бж Н——- ] dxdy =
dx
/
I 16а: Н—— | dy]
в) последовательно интегрируем, используя свойства определен ного интеграла:
1/4 4v^
'.2
т
оо
1/4
^
з> -^-/^
' / ^
1/4
= (
( 16жу + —
|4v^
dx := 160 1 x^l'^ dx = 2.
)
О
Ответ, m = 2 ед. массы.
ПРИМЕР 2. Найти массу пластины D с поверхностной плотностью yi = a:^/(a;^ + 2/^)) ограниченной кривыми
2/2-42/ + х 2 = 0 , г/2-82/-Ьж2=:0, 2 / = " ^ , х = 0.
РЕШЕНИЕ.
1.Масса пластины D с поверхностной плотностью /х = х'^/{х"^-\-у'^)определяется формулой
D
2. Вычисляем полученный двойной интеграл:
312
Гл. 12. Кратные интегралы
а) так как область D ограничена окружностями и прямыми, про ходящими через начало координат, поставленную задачу проще ре шать в полярных координатах
X
=
Q cos if,
у
=
QsiiKf.
При этом область D перейдет в область D', ограниченную линиями
7Г
7Г
^ = 4sinv?,
g = Ssmip,
^=-^^
^ " ^ 2 " '
а искомая масса определяется формулой
т =
—2
2 ^^^У —
11 cos^ ^ gdg dip.
D
D'
Зададим неравенствами область D' в полярных координатах:
Г
7г/6 <
(у9 < 7г/2,
1
(^
4 sm (у^ < ^ < 8 sm (^ J
б) перейдем от двойного интеграла к повторному
7г/2
5sm(^
m = / /
cos^ (р gdgdip = /
cos^ (pd(f
g dg\
D'
я//6
4sinvsin 033
B) последовательно интегрируя, получим
7г/2
д> sirup
7г/2
8 sin<^
m = /
cos^ ipd(^
I gdg =
cos^ (f
dip
=
7г/6
4sinv(f?
7г/6
4 simp
7Г/2
= 24: f sin ip cos ipdip = ( 3(^ — - sin 4(^ 7Г/2 = 7Г + 3\/3
7г/6
7Г/6
Ответ, т •= тг -\-3v3/8 ед. массы.
12.8. Вычисление массы плоской пластины
313
ПРИМЕР 3. Найти массу пластины D с поверхностной плотностью /i = х/у^, ограниченной кривыми
JC
2
»*'
2
X
/
X
\
о
о
^ + У^ = l,
1^ + у^ = 3, у = - , х = 0
( у > - , х > 0 ) .
РЕШЕНИЕ.
1.Масса пластины D с поверхностной плотностью /х = х/у^ опре деляется формулой
D
2. Вычисляем полученный двойной интеграл:
а) зададим область D неравенствами в декартовой системе коор
динат
D= ^ (х,2/):
16
I
У > х/А, X > О
Так как область D ограничена эллипсами и прямыми, проходящими через начало координат, поставленную задачу проще решать в обоб щенных полярных координатах
X = Ад cos (/?,
{ у = Q sirup.
При этом (^, (р) е D\ а. искомая масса определяется формулой
m
•^dxdy=
-p^Agdgd<p.
JJ У^
J J g^sm^'cp
D
D'
Чтобы найти область D', заменяем в неравенствах, определяющих область D, X на Agcosip и у на ^sin<^:
1 6 ^ 2
C0S2 (^
2
- 2
/ о
1 <
-~
+ г
sm (^ < 3,
10
gsirnp > Ад cos (/?/4,
^ cos <^ > 0.
Решая эти неравенства относительно д и if, получаем
1<д<уД,
— < (^ < —
3. fi = x'^ + 2y,
314
Гл. 12. Кратные интегралы
б) переходим от двойного интеграла к повторному:
7г/2
V3
т =
, .
. Agdgd(p=
d(p
lQg~
о
COS ip ,
J J
^'•^dg;
Q^sin^'ip
J
J
sm (f
D'
7Г/4
B) последовательно интегрируя, получаем
7г/2
d sirup
у/3
7г/2
V3
т = 16
I
f
Q-^dg = 16
^^^-^^^
/
4sin^ (f J
2g'
= 4.
/
sin^if
J
7г/4
7Г/4
Ответ,
m = 4 ед. массы.
Условия
ЗАДАЧ.
Найти
массу
пластины D
с поверхностной
плотностью
fi, где D
ограничена заданными
линиями.
1.
/i =
2a; +
2/^,
х = i,
у = О, у =
у/х.
2.
fi =
x'^ +
y,
х = 1,
у = 0,
у = 2^х.
4. /i==a;-f2/^,
5. /i = х-у
х^ + 2/^'
6. /х = 22/-жх^ + 2/^'
7. /х = у-хх2 + 2/^'
8. /i(x,2/)=2/,
а: = О,
2/ =
4,
у = х^ {х
>0).
х = 0,
2/ =
1,
у = х2/4 (ж > 0).
ж = О,
2/ = О,
х^ + 2/^ = 4,
х^ + 2/^ = 9
(х > О, у < 0).
X = О,
2/ =
О,
х^ + 2/^ = 3,
х^ + 2/^ = 5
( х < 0 ,
2/>0).
X = О,
2/ = О,
х^ + у^ = 4,
х^ + 2/^ = 16
( х < 0 ,
2/>0).
2/ = О,
2/ = а;\/3,
х^ + ^
= 1,
х^ + ^ = 9
(2/>0,
у<хуД),
12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
315
9. ф,у)
= ^ ,
у = 0,
у = х,
^
+ 2/2 = 1,
^ + 2 / 2 ^ 4
(у > О, у < х).
X
х = 0,
у^х,
X
V
X
у
10./х(а:,г/) = —,
— + ^ = 1,
_
+ ^ = 2 5
(ж > О, у > х).
Ответы.
l . m = 448/15.
2. m = 11/7.
3. m = 448/15. А. т = 11/7.
5. m = 2. 6. m = 3(\/5-\/3).
7. m = 4. 8. m = 52/3. 9. m = (\/2 - l)/2 .
10.m = 1 8 ( \ / 2 - l ) .
12.9.Тройной интеграл в декартовых координатах
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить тройной интеграл
/ / / f[x,y,z)dxdydz,
и
где область О. ограничена некоторыми поверхностями.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Зададим область П системой неравенств, например,
а < а: < Ь,
У\{х) <у< У2{х), zi{x,y) <z< Z2{x,y).
2. Перейдем от тройного интеграла к повторному:
f{x,y,z)dxdydz=
dx
dy
f{x,y,z)dz.
Q
a
yi{x)
zi{x,y)
3. Используя свойства определенного интеграла, последовательно интегрируем сначала по z (считая х is. у постоянными), затем по у (считая X постоянной), затем по х.
Записываем ответ.
316 Гл. 12. Кратные интегралы
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ тройной интеграл
1 I 1 х^ sh. (ху) dx dy dzy
где О. ограничена плоскостями
X
РЕШЕНИЕ.
1. Зададим область Q неравенствами. Очевидно, что О < z < 1. Для у возможны неравенства О < у < х/2 или х/2 < у < 0. Если 0 ^ 2 / ^ 2:/2, то X > О и для х имеем О < ж < 2. Если же х/2 < у < О, то ж < О и область не примыкает к плоскости а; = 2. Значит, мы должны принять, что О < у < х/2 и определить П системой неравенств
О <ж < 2 ,
О< 2/ < х/2, 0<z<l.
2.Перейдем от тройного интеграла к повторному:
2
х/2
1
/ /
/ ж^ sh {ху) dx dy dz =
dx / dy
x^ sh (xy) dz.
Г2
0
0
3. Используя свойства определенного интеграла, последовательно интегрируем сначала по z (считая х и у постоянными), затем по у (считая X постоянной), затем по х:
2
х/2
1
/ / / ж^ sh (ху) dx dy dz =
I dx
I
dy
I x^ sh [xy) dz =
2
x/2
1
2
x/2
dx
x^sh (xy) dy
dz =
dx
x^ sh {xy) dy •
0
0
0
0
0
-I
2
2 ch {xy) x/2
2
X
dx =
/ x ( c h ^
chO Ых =
X
0
12.9. Тройной интеграл в декартовых координатах
317
= sh-
- 2 = s h 2 - 2 .
Ответ.
х^ sh. {xy)dxdydz
= sh2—
2.
п
Условия
ЗАДАЧ. Вычислить
тройной
интеграл
по области
П,
ограниченной
заданными поверхностями.
1.
/
/
/
4:y^ze^'^ dxdydz^
х — О, у = 1, у = х,
z = 0^ z = 1.
п
2.
/
/
/
32/^z^e"'^^ dx dy dz, ж = О, ?/ =
- 2 ,
у = Ах, z = О, z = 1.
п
3.
I l l
Sx'^z^e'^y^'^ dx dydz,
x =^0, у = 2,
у = 2x,
z = О, z = - 1 .
4.
/
/
/
2y^z cos{7rxy) dx dydz,
x = 0, у = 1, у = 2x,
2 = 0, г = 7Г^.
6.
/
/
/
y'^z ch (ж^) dxdydz,
x = 0,
у =
—1,
у = x, z = 0,
z — 2.
7.
/
/
/
yz^ cos{xy) dx dy dz,
x = l, ^/^'тг,
2 = 2, ж = 0, г/ = 0,
z = 0.
8.
/
/
/
^^-2: sh (Зд;?/) dx dy dz,
x = 1, у = 2x,
2/ =
0, 2 =
0,
z = l.
9.
/
/
/
y^z eh (2x2/) dxdydz,
x = 0, у = 1, у = x,
z = 0,
z = A.
10.
/
/
/
3x2^ sin(a:y) dxdyd^;,
a; = 2,
у = 7г, 2 = 1,
ж = 0, 2/ = О, z = 0.
Ответы.
1. / = e-2. 2. / = 2e - ^ 3. /
= 4e-8.
4. /
= 4. 5. /
=
IGTT^.
6 . / = 2 c h l - 2 . 7.7 = 8. 8 . / = ( s h 6 - 6 ) / 7 2 . 9. J = c h 2 - 1 . 10.7 = 2.
318
Гл. 12. Кратные интегралы
12.10.Тройной интеграл в цилиндрических координатах
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить тройной
интеграл
/ /
/
f{x,y,z)dxdydz,
Q
где область Q ограничена
поверхностями
Z = gi{x^
+ 2/^),
Z = д2{х^ +
у^).
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Поскольку Vi — тело вращения вокруг оси 0 Z , удобно перейти к цилиндрическим координатам
X = Q cos v?,
у = Qsm^, z = z.
При этом {g^ip,z) G П', a искомый интеграл определяется формулой
f{x,y^z)dxdydz= f{Q cos <^, Q sin (/?, z) g dgdtp dz.
2. Зададим область О.' неравенствами. Для этого сначала заме ним в уравнениях поверхностей х на д cos ip и у на. gsiiKp. Тогда ft'
определяется неравенствами gi{g^)<z<д2{д^) или g2{g^)^z<gi{g'^).
Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнение gi{g^) = д2{д^) относительно д. Если оно имеет два решения gi и д2 (О < ^1 < ^2)7 то исследуем, какал из функций gi{g^) или д2{д^) больше другой на промежутке ^i < ^ < ^2- Предположим для опре
деленности, что gi{g^)
< д2{д^) при ^i
< ^ < ^2- Тогда область О!
определяется системой неравенств
{
gi<
д< Р2,
{g,(p,z):
gi{g'')<z<g2{g^),
о < if <27г
Если уравнение д\[д^)
= д2{д^) имеет единственное положительное
решение ^ = ^2? то неравенства для д имеют вид О < ^ < ^2-
12.10. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
319
3. Переходим от тройного интеграла к повторному:
/ / / f{^^ У) z)dxdydz = / / / fio
cos (^, д sin (р, z) д dg d(f dz
=
27Г
Q2
92{Q)
dip
gdg / f {g cos (f, g sin (p^z) dz,
0
Qi
giig)
И последовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла.
Записываем ответ.
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ тройной интеграл
JJJ
dx dy dz,
х^ + У^
где область Vt ограничена поверхностями
9 г^г—^
И
-x^-y
z= -у/^Л^,
z = —
РЕШЕНИЕ.
1. Поскольку Q — тело вращения вокруг оси 0 Z , удобно перейти к цилиндрическим координатам
X = д cos (р, у = gsinip,
Z = Z.
При этом (g^ip^z) G П', а искомый интеграл определяется формулой
/ / / ~~2 2^^^У^'^~ / / / ^^^'^ ^ Qdgdipdz.
2.Зададим область П' неравенствами. Для этого сначала заменим
вуравнениях поверхностей х на gcosip и у на gsiinp. Тогда ft' опре деляется неравенствами 9д/2 < Z < 11/2 —д'^или 11/2 —д^" < z < 9д/2.
Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнение
