Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)
.pdfГ л а ва 14 ТЕОРИЯ ПОЛЯ
При изучении темы ТЕОРИЯ ПОЛЯ (ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ) вы познакомитесь с понятиями векторного поля, векторных линий, потока векторного поля через поверхность, циркуляции векторного поля, дивергенции и ротора векторного поля. Вы научитесь вычис лять поток векторного поля как поверхностный интеграл, а также использовать формулу Остроградского для вычисления потока через замкнутую поверхность. Вы научитесь вычислять работу векторного поля как криволинейный интеграл второго рода, а также применять формулу Стокса для вычисления циркуляции.
С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить произ водные, единичный нормальный вектор поверхности, дивергенцию и ротор векторного поля, определенные и повторные интегралы, выпол нить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.
14.1. Векторные линии
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти векторные линии векторных полей
а = P{x,y)i + Q{x,y)j,
или
а = P{x^z)i-{-R{x,z)k,
или
a = Q{y,z)j-\-R{y,z)k.
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Запишем дифференциальные уравнения векторных линий
dx |
dy |
при Z = с . |
|
Р{х,у) |
Q{x,y) |
||
|
344 |
Гл. 14. Теория полл |
Условия ЗАДАЧ. Найти векторные линии векторных полей.
1. |
а = 2уг -\-6xj. |
2. |
а = 2xi + 3yj. |
3. |
а = 2yi — Axj. |
|
4. |
а = zi — хк. |
5 . 5 |
= 2yj -f 3zk. |
6. |
a = zi — izk. |
|
7. |
a = 2zj + 9yk. |
S. |
a |
= Sxi + 6yj. |
9. |
a = 3yi — 2xj. |
10. a = yj + zk.
Ответы.
2x2 + 2 / 2 - C i ,
Z = C2.
z = |
Ci/y, |
X = |
Go. |
14.2. Поток векторного поля
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти поток |
векторного полл |
|
а = Р(ж, 2/, z)i-\- Q{x, у, z)j |
+ R{x, |
у, z)fc |
че^^ез поверхность Е, описываемую уравнением |
F{x,y,z)—0 и неко |
|
торыми неравенствами {нормаль образует острый угол с осью 0Z).
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ПО определению поток П векторного поля а через поверхность Е с полем единичных нормалей щ определяется формулой
П = ff{a,no)da. |
(1) |
S
1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением F{x^y,z) = О, определяется формулой
gradF
По = ±1 7-=г7 = ±{cosa,cosp, cos7^• gradF
14.2. Поток векторного поля |
345 |
Учитывал что нормали должны образовывать острый угол с осью 0 Z , т.е. что cos 7 > О, выбираем в этой формуле знак плюс или минус. Имеем
По = cosm Ч- cosPj + cos'yk, cos 7 > 0. 2. Находим скалярное произведение
(5, щ) = Р{х, у, z) cos а -Ь Q{x, у, z) cos /3 + R{x, у, z) cos 7 = f{x, у, z).
3. В силу формулы (1), поток определяется поверхностным интег ралом:
П = |
{a,no)da= |
f{x,y,z)da. |
ss
4.Переходим от поверхностного интеграла первого рода к двой ному, проецируя Е на плоскость XOY:
|
|
|
|
dxdy |
П== / / |
fix,y,z)da= |
/ / |
f{x,y,z{x,y)) I COS7I' |
|
где D — проекция E на плоскость XOY; |
z(x, у) определяем из урав |
|||
нения поверхности F{x^y^z) |
— 0. |
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ. |
Если уравнение F{x,y^z) |
= О не определяет одно |
||
значно функцию Z = z{x^y)^ |
то проецируем Е на другую координат |
|||
ную плоскость или используем криволинейные координаты (можно также разбить поверхность на части и воспользоваться аддитивнос тью интеграла).
5. Вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному. Записываем ответ, не забывая о размерности.
ПР И М Е Р . Найти поток векторного поля
а= —xi 4- 2yj -h zk
через часть плоскости
x + 2y + 3z = l,
расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью 0Z).
14.2. Поток векторного поля |
347 |
Ее проекцию D на плоскость XOY находим, исключая z из условий, определяющих Е:
/ |
|
|
z^{l-x-2y)/3, |
|
\ |
|
|
|
\ |
|
|
а;>0, j / > 0 , |
z > 0 |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
х>0, |
у>0, |
] |
Отсюда |
|
p = L , , ) . 0 S » < l / 2 . 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
[^ '^^ |
0 < х < 1 - 2 2 / J |
|
|
||
5. Вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному: |
|
|||||||
и= |
jh-x |
+ Ay + Sz) |
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|cos7| |
|
|
|||||
|
|
|
z=il-x-2y)/3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1/2 |
1-2у |
|
|
= |
^JJ{l-2x |
+ 2y)dxdy=^ |
J dy |
J {l-2x |
+ 2y)dx = |
j ^ . |
||
|
D |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
Ответ. П = 1/18 ед. потока.
Условия ЗАДАЧ. Найти поток векторного поля а через часть плоскости^ располоэюенную в первом октанте {нормаль образует острый угол с осью 0Z).
1. |
а = xi-hyj, |
X -\-у -{• Z = 1. |
2. |
a = 2xi-\-zkj |
х -\-у -\~ z = 1. |
3. |
а = yj -f- zk^ |
2х -i-y + z = 1. |
4. |
a = xi-{-yj^ |
X -\-y -\-2z — 1. |
5. |
a — yj -\- zk, |
2x + 2y + z = 1. |
6. |
d = xi-\-yj^ |
2x ~\-у-\-2z = \. |
348 |
|
Гл. 14. Теория поля |
7. |
а = жг 4- 2yj^ |
х -\- у + z = 1. |
8. |
а = yj + zk^ |
2х-\-2у-\-z = 1. |
9. |
a = xi + 2yj + zk, |
x/2 + y + z/S = l. |
10. a=:xi + yj + 2zk, |
ж/З -f 2//2 + г = 1. |
|
Ответы. 1. 1/3 ед. потока. 2. 1/2ед. потока. 3. 1/6 ед. потока. 4. 1/6 ед. потока. 5. 1/8 ед. потока. 6. 1/8 ед. потока. 7. 1/2 ед. потока. 8. 1/8 ед. потока. 9. 4ед. потока. 10. 4ед. потока.
14.3.Поток векторного поля через часть цилиндра
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти |
поток |
векторного поля |
|
|
а = Р{х, у, z)i-V Q(x, у, z)J-f Я(х, у, z)^ |
||
через часть |
поверхности |
|
|
|
2 , 2 |
2 |
|
|
х^ -{-у |
= г^, |
|
вырезаемую |
плоскостями г: = О и z = h {нормаль внешняя к замкну |
||
той поверхности^ образуемой данными |
поверхностями). |
||
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ПО определению поток П векторного поля а через поверхность Е с полем единичных нормалей щ определяется форму лой
П = ff{a,no)da. |
(1) |
S
1. Поле единичных нормалей к поверхности, заданной уравнением F{x^ у, z) = О, определяется формулой
gradF
^0 = ±1
'IgradFI*
В данном случае F{x, у, z) = х^ + 2/^ — "^^ и, следовательно,
14.3. Поток векторного поля через часть цилиндра |
349 |
Учитывая, что нормали должны образовывать острый угол с осью ОХ при ж > О, т.е. cos а > О при ж > О, и тупой угол с осью ОХ при X < О, т.е. cos а < О при х < О, выбираем в этой формуле знак плюс.
2. Находим скалярное произведение
(а,По) = |
7 = т = ? |
^ fi^^y.z). |
|
V ^ + У^ |
|
3. Согласно формуле (1) поток определяется поверхностным ин тегралом:
11= |
{a,no)d(7= |
f{x,y,z)dcT. |
ss
4.Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные координаты
"^ X = |
gcosif, |
y = |
gsm(p, |
z— z.
вэтих координатах поверхность задается условиями
д= г,
О< (у9 < 27Г,
0<z<h.
Поскольку da = rd(pdz, имеем
|
27Г |
h |
li = Г |
d(f |
f {г cos(f J г s'm(p,z)dz. |
00
5.Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ, не забы вая о размерности.
ПРИМЕР. Найти поток векторного поля
а= xi + yj + zk
через часть поверхности
вырезаемую плоскостями 2 = О и z = 2. (нормаль внешняя к замкну той поверхности, образуемой данными поверхностями).