Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

6.6.Касательная плоскость и нормаль к поверхности

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности^ заданной уравнением

в точке М{хо^уо^го).

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Нормальный вектор к поверхности, заданной уравнением

Следовательно, уравнение касательной плоскости к данной поверх­ ности в точке М{хо^ уо, ZQ) есть

1.Находим частные производные F^, F^ и F^ в точке М(жо, Уо? ^^^о).

2.Подставляем найденные значения в уравнения (1) и (2) и запи­ сываем ответ.

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ заданы только значения жо и ?/о, то координата ZQ ТОЧКИ М определяется из условия, что точка М принадлежит дан­ ной поверхности, т.е. F{xQ^yQ^ZQ) = 0.

ПРИМЕР. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением

z = xy,

в точке М(1,1).

РЕШЕНИЕ. Запишем уравнение поверхности в виде xy — z = Oy т.е.

F = ху — Z.

Координаты точки М: XQ = 1 ш уо = 1. Координату ZQ опреде­ ляем из условия, что точка М принадлежит данной поверхности, т.е. F(l, 1, zo) = 0. Получаем ZQ = 1.

1. Находим частные производные F!^^ Fy и F^ в точке М(1,1,1):

2. Для того чтобы исследовать характер стационарных точек, вос­ пользуемся достаточными условиями экстремума функции двух пере­ менных.

Пусть функция z = z{x, у) определена и имеет непрерывные част­ ные производные второго порядка в стационарной точке М{хоуУо) {т.е. z^(a:o,yo) = ^yi^o^Uo) = 0). Тогда если в этой точке:

ние {например, по определению).

3.Вычисляем производные второго порядка функции z{x,y).

4.В каждой стационарной точке вычисляем выражение

^хх '^уу \^xyJ

и определяем его знак.

Анализируем полученные результаты и записываем ответ.

ПРИМЕР. Найти стационарные точки функции

Z = х^ -\-у^ - Зху

иисследовать их характер.

РЕШЕНИЕ.

1.Вычисляем частные производные

z'^ = Зх^ - Зг/, Zy = Зу^ - Зх.

2. Для того чтобы найти стационарные точки функции, решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

Г3x2 _ Зу = О,

\32/2 - Зж = 0.

4. В каждой стационарной точке вычисляем выражение

// ^ // _ / // \2

иопределяем его знак.

Вточке Ml(0,0)

г;',(о,о)=о, z;'^(o,o)--3, <,(o,o)-o-:^z;',.4-(4',)'=-6<o.

Следовательно, точка Mi (0,0) не является точкой экстремума. В точке М2(1,1)

г;',(1,1)-б, 4',(1Д) = -3, <,(1,1) = 6 = ^ < , . 4 - ( 4 ' , ) ^ - 2 7 > 0 . .

Следовательно, точка М2(1,1) является точкой экстремума. Так как z^'a,(l, 1) = 6 > О, то М2(1,1) — точка минимума.

Ответ. Функция z = х^ -\- у^ — Зху имеет две стационарные точ­ ки Ml(0,0) и М2(1,1). В точке Mi(0,0) экстремума нет, М2(1,1) — точка минимума.

Ответы.

1.М(0,0) — стационарная точка. М(0,0) — точка минимума, ^min = ^(0,0)=0 .

2.М(0,0) — стационарная точка. В точке М(0,0) экстремума

нет.

3.М(—2, —1) — стационарная точка. М(—2, —1) — точка мини­

^min = ^(4/3,4/3) = -64/27.

5. Mi(l,l), М2(-~1,-1), Мз(-1,1), М4(1,-1) — стационарные точки. В точках Mi(l,l), М2(-1,-1) экстремума нет. Мз(-1Д) — точка максимума, z^ax = >2;(—1,1) = б. М4(1,—1) — точка мини­ мума, Zmin = Z{1, -1) = - 6 .

6.М(2,1) — стационарная точка. М(2,1) — точка максимума, Zmax = 2:(2, 1) = 5.

7.Ml(0,0), М2(5,5) — стационарные точки. В точке Mi(0,0)

экстремуманет. Мз(5,5) — точка минимума, Zmm = ^(5,5) = -125.

8.М(0,3) — стационарная точка. М(0,3) — точка минимума,

>^min=>^(0,3)--9.

9.М(0,0) — стационарная точка. М(0,0) — точка минимума,

Zmin=z{0,0)=4.

10.М(1,1) — стационарная точка. М(1,1) — точка минимума, ^min = 2:(1,1) = 3 .

Г л а ва 7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

При изучении темы НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ вы из­ учите основные приемы нахождения первообразных (подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям, замена перемен­ ной), научитесь интегрировать основные классы функций (рацио­ нальные дроби, тригонометрические и иррациональные выражения).

С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить произ­ водные, разложить многочлен на множители, разложить рациональ­ ную функцию на элементарные дроби, решить системы уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов, выполнить другие численные расчеты и проверить полученные вами результаты.

7.1.Интегрирование подведением под знак дифференциала

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный интеграл

I F{x)g{x) dx.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Пусть д{х) имеет очевидную первообразную G(x), а F{x) есть функция эт:'ой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)). Тогда

Такого рода преобразование называется подведением под знак диф­ ференциала.

. Если метод избран удачно, то последний интеграл оказывается табличным или известным образом сводится к табличному.

ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл

/ ctgx In sin ж da:.

7.2. Интегрирование по частям

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный интеграл

F{x)g{x) dx.

!•

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Пусть д{х) имеет очевидную первообразную G{x)^ а F[x) — дифференцируемая функция, причем ее производ­ ная /(ж) = F'{x) является более простой функцией, чем F{x). Тогда применяем формулу интегрирования по частям

I F{x)g{x) dx = F{x)G{x) ~ f f{x)G{x) dx.

Если метод избран удачно, то интеграл в правой части этого ра­ венства оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, например, повторным интегрированием по частям.

ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл

I xdx

COS^ X

РЕШЕНИЕ.

1. Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций F{x)g{x)j где д{х) имеет очевидную первообразную 0{х), а F{x) — дифференцируемая функция, причем ее производная f{x) = F'[x) является более простой функцией, чем F[x).