Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

4.8. Производные высших порядков

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную п-го порядка функции

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Производной п-го порядка функции у = f{x) называют производ­ ную от производной порядка (п — 1), т.е.

j/(")(x)=2/(»-i)(a;)'.

1.Дифференцируем функцию у — f{x) последовательно несколько раз, пока не станет ясной формула для производной п-ого порядка.

2.Доказываем эту формулу методом математической индукции. Для этого проверяем, что она справедлива при п = 1, т.е. дает пра­ вильное значение /', и что дифференцирование выражения для /^"^^ эквивалентно замене п на п + 1.

4.9. Формула Лейбница

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную п-го порядка функции у = u{x)v{x).

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ функции и{х) и v{x) имеют производные до п-го порядка включительно, то справедливы следующие формулы:

{uv)" = и"уЛ-2и'и' -Vuv",

{uvУ^' = u'"v + Ъи"у' + Zu'v" Л- uv'",

(ui;)(4) = u^^^v + Ы"'у' -f Ы"и" + 4.u'v'" + uv^^\

енты.

Формула (1) для п-й производной произведения называется фор­ мулой Лейбница.

Следовательно, для определения производной п-го порядка фун­ кции вида у = и{х)у(х) нужно вычислить все производные (до п-го порядка включительно) каждой из функций и{х) и v{x), биномиаль­ ные коэффициенты (7^ и воспользоваться формулой Лейбница.

ПРИМЕР. Найти производную 4-го порядка функции

9.у(^) =32е2^+^(х2 + 5х + 6).

10.у(4) ^ 33^+21пЗ [(9х^ + 18) 1п^ 3 + 36x2 In^ 3 + ЗбхЬЗ + 8].

4.10.Вторая производная функции, заданной параметрически

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную второго порядка функции, заданной параметрически.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ функция задана параметрически:

( х^ fit),

\y^git),

то ее первая производная определяется формулами

(1)

fit) •

Дифференцируя у' по х как сложную функцию х и используя фор­ мулу для производной обратной функции, получим

X = fit),

n_(9'{t)\ 1

^\nt)) fit)'

ПРИМЕР. Найти производную второго порядка функции, задан­ ной параметрически:

Г X = Int,

1 у = arctgt.

РЕШЕНИЕ.

1.Вычисляем

и подставляем эти значения в формулу (1):

Дифференцируя у' по х как сложную функцию х и используя фор­ мулу для производной обратной функции, получим

ж = Int,

y"=(-^)'-t^'-^-^

X = Int,

Условия ЗАДАЧ. Найти производные второго порядка функций^ заданных парамет,рически.

Г л а ва 5 ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

При изучении темы ГРАФИКИ ФУНКЦИИ вы научитесь иссле­ довать поведение функции: находить ее область определения, асимп­ тоты, промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, про­ межутки выпуклости вверх и вниз и точки перегиба, а также вопло­ щать полученные результаты в виде эскиза графика. Кроме того, вы научитесь находить наименьшие и наибольшие значения функции, не­ прерывной на отрезке, и исследовать локальное поведение функции по ее производным высших порядков.

С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить произ­ водные функции (любого порядка), решить уравнения для нахожде­ ния точек возможного экстремума и перегиба, найти значения функ­ ции в требуемых точках, выполнить все численные расчеты и прове­ рить правильность полученных вами результатов.

5.1.Общая схема построения графика функции

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Исследовать функцию у = f{x) и постро­ ить ее график.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Полученные в каждом пункте результаты по­ следовательно фиксируем на рисунке в качестве элементов искомого графика и в итоге получаем эскиз графика.

б) определяя знак второй производной, находим интервалы вы­ пуклости вверх и вниз: если /"(х) > О, функция выпукла вниз, если f"{x) < О, функция выпукла вверх;

в) если вторая производная меняет знак при переходе через точку а Е D, в которой f"{x) — О, iboo или не существует, то а — точка перегиба (при f'{a) = О график имеет горизонтальную касательную, при f {а) = ±оо — вертикальную касательную).

6. Уточняя полученный эскиз (например, можно определить еще координаты каких-нибудь точек) и соединяя элементы графика, полу­ ченные в окрестностях граничных точек области определения (вблизи асимптот), критических точек и точек перегиба, получаем график функции у = f{x).

ПРИМЕР. Исследовать функцию у = —- х^ :-^ и построить ее график.

РЕШЕНИЕ. Полученные в каждом пункте результаты последова­ тельно фиксируем на рисунке в качестве элементов искомого гра­ фика и в итоге получаем эскиз графика.

1. Находим область определения D. Очевидно, что функция опре­ делена при всех ж, кроме х = 2. Поэтому D = (—оо, 2) U (2, -f-oo).

Исследуем поведение функции в граничных точках области D. а) Вычисляем пределы:

lim —- х^ г^ = +00,

х->2-о 4(2 - ху