330 |
Гл. 12. Кратные интегралы |
Поскольку Q — тело вращения вокруг оси 0 Z , удобно перейти к цилиндрическим координатам
|
|
X = |
д cos |
if, |
|
|
|
|
|
у = |
QsiiKp, |
|
|
|
|
|
z — z. |
|
|
|
|
|
При этом |
(^, (^, z) G П', а искомая масса определяется |
формулой |
|
V = / / / |
zQdgdip |
dz. |
|
|
Заменяем в уравнениях поверхностей х на gcos(p |
и у |
на. д sirup. По |
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д = 2, |
Z = |
0, |
|
Z = |
^ . |
|
|
2. Зададим область О.' системой |
неравенств |
|
|
|
|
|
0 < ^ < 2 , |
|
|
|
П ' = < ( ^ , ^ , z ) : |
|
|
0<z<g^/2, |
> . |
|
|
|
|
О < |
9? < |
27Г |
|
|
3. Вычисляем т , сводя тройной интеграл к повторному: |
|
27Г |
2 |
|
^V2 |
— 87Г |
|
|
|
т — \ dip |
\ gdg |
\ |
zdz |
' |
|
|
0 |
0 |
|
о |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
V = 87г/3 ед. массы. |
|
|
|
|
|
|
П Р И М Е Р 3. Найти массу тела Г^ с плотностью /i = 2О2;, ограничен ного поверхностями
РЕ Ш Е Н И Е .
1.Масса тела fi с плотностью \i = 20z определяется формулой
12.13. Вычисление массы тела |
331 |
Поскольку о. — область, ограниченная верхней полусферой и верх ним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам:
X = ^cos<^sin^,
Z = QCOSO.
При этом {д,в,(р) G П', а искомая масса определяется формулой
т=4 I1I I120д•• sin в cos в d(f dO dg.
Заменяем в уравнениях поверхностей х на ^ cos (^ sin б, уна^д sin (р sin в и 2: на gcosO. Получаем
Область П' ограничена этими поверхностями.
2. Зададим область fi' системой неравенств
|
|
|
0<g<h |
|
|
|
|
|
fi'= 1 {g.e.if): |
0 < 6 < a r c t g 2 , |
|
|
|
|
|
0<(р<27г |
|
|
|
|
3. Вычисляем m, сводя тройной интеграл к повторному: |
|
27Г |
arctg 2 |
|
sin^l? |
arctg 2 ^4 |
|
771 = 2 0 d(p |
/ sin вбcos0d^ |
// g^dg = 407г |
|
|
О |
4 = 47Г. |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
Здесь мы воспользовались формулой |
|
|
|
|
|
sin^e ^=arctg2 |
l + tg^^ 0=arctg 2 |
|
|
Ответ, m = 47Г ед. массы.
332 |
Гл. 12. Кратные интегралы |
Условия ЗАДАЧ. Найти массу тела с плотностью /х, ограничен ного заданными поверхностями.
1. |
/i = 2у^е^^, |
ж = О, |
у = 1, |
У = X, |
2 = 0, |
Z = 1. |
2. |
fi = y'^e-''y, |
х = 0, |
2/= - 2 , |
|
у = 4а:, z = О, |
z = l. |
3. |
/i = 2/2e^^/2, |
а;=:0, |
у = 2, |
у = 2ж, |
z = О, |
z = - 1 . |
|
Г.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
"^^ |
/^ = ^2 • 2 > 2:^ + 2/^-42/ = О, |
г = 4 - x ^ |
г = 0. |
|
х-^ 4- г/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
fJ^ = -^—5-' |
ж'^ + У^-4а: = 0, |
z = 10~y^, |
z = 0. |
|
х^ |
|
/ |
|
ж -j- ту |
|
|
|
7 |
^' |
/1 |
2 |
2 |
2(^^ + у") |
|
|
^' |
^= 2_L 2^ |
2;= |
л / 1 - а ; 2 - у 2 ^ |
z = |
. |
|
|
8. |
3:^ + 2/"^ |
z = y^l-x^-y\ |
3 |
|
|
|
/i = 32z, |
z = y/^Ty^. |
|
|
9. |
/i = 52, |
z = \/l6 — ж^ — г/2, |
z |
x^ + y^ |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. /i = lOz, |
z = y^4 - x^ - 2/2, |
z = |
д/х^Т^ |
|
Ответы. 1. m = e - 2. 2. m = 2e~^. 3. m = 4e - 8. 4. m = 57г/2.
5.m = 177Г/2. 6. m = 17l7r/4. 7. m = 197г/96. 8. m = 47г. 9. m = 2887Г.
10.m = 327Г.
Г л а ва 13 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
При изучении темы ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ вы по знакомитесь с понятием интеграла по поверхности от функции трех переменных и научитесь сводить его к двойному (а затем — к по вторному), проецируя заданную поверхность на одну из координат ных плоскостей. Кроме того, вы научитесь вычислять интегралы по части цилиндрической и сферической поверхностей.
С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете найти коорди наты единичного нормального вектора поверхности (вычислить част ные производные и длину вектора), вычислить полученные вами по вторные интегралы, выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.
13.1.Поверхностный интеграл первого рода
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить поверхностный |
инт,еграл |
|
IIS |
-f{x,y,z)da, |
|
где Е — часть |
поверхности, |
описываемая уравнением |
F{x,y,z) = О |
и некоторыми |
неравенствами. |
|
ПЛАН РЕШЕНИЯ. Поверхностный интеграл сводится к двойному проецированием Е на координатную плоскость XOY по формуле
/ / f{x, у, z) da = |
/ / /(ж, у, z(x, у)) 1——г, |
(1) |
S |
D |
|
где D — проекция Е на плоскость XOY, j — угол между нормалью к поверхности Е и осью 0Z; z{x, у) определяем из уравнения поверх ности F{x, у, z) = 0.
334 |
Гл. 13. Поверхностные интегралы |
ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ уравнение F{^x^y^z) =• О не определяет одно значно функцию Z = z(x,2/), то проецируем Е на другую координат ную плоскость или используем криволинейные координаты (можно также разбить поверхность на части и воспользоваться аддитивнос тью интеграла).
1. Единичные нормальные векторы щ = {cosа,cos/?,cos7} к по верхности, заданной уравнением F{x^ у, z) = О, определяются форму лой
|
gradF |
|
По = ±1 TFT- |
|
|gradF| |
2. |
Проекцию D поверхности Е на плоскость XOY находим, ис |
ключая Z из условий, определяющих Е. |
3. |
Находим Z = z(a:, г/), решая уравнение F(x, t/, z) = 0. |
4. |
Переходим от поверхностного интеграла к двойному по фор |
муле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному. Записываем ответ.
ПРИМЕР. Вычислить поверхностный интеграл
Ih{-X -h Зу 4- 4:z) da,
Е
где Е — часть плоскости
х + 2г/-+-32г = 1,
расположенная в первом октанте (т.е. о: > О, у > О, 2: > 0).
РЕШЕНИЕ.
1. Единичные нормальные векторы щ = {cos а, cos ^, cos 7} к по верхности, заданной уравнением F{x, г/, г) = О, определяются форму лой
gradF
В данном случае F{x, у, 2) = х + 2^ + 3z — 1. Следовательно,
^ |
,{1,2,3} |
. |
, |
3 |
по = |
± - д ^ , |
|cos7| = |
^ . |
2. Поверхность Е определяется условиями
13.1. Поверхностный интеграл первого рода |
335 |
Ее проекцию D на плоскость XOY находим, исключая z из условий, определяющих S:
|
(а:, г/, г) |
z = {l-x- |
22/)/3, |
|
|
|
|
х>0, у > 0 , |
г>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
ж > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
- X - |
2у)/3 |
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
D = |
{{x,y): |
< 2/ < 12, |
1 |
|
|
|
О< а: < 1 - |
22/ / |
|
3. Из уравнения x-\-2y-{-3z-l |
= 0 находим z{x,y) = (1-а;-22/)/3. |
4. |
Переходим от поверхностного интеграла к двойному по фор |
муле (1) и вычисляем двойной интеграл, сводя его к повторному: |
lj{~x |
+ 4у + 3z) da= |
[{-X |
+ 4у + Зг) |
|
у/й |
dxdy^ |
|
|
|
|
|
г=(1-ж-2у)/3 |
|
|
|
|
|
1/2 |
1-2у |
|
= ^jj{l-2x |
+ 2y)dxdy = ^ j d y |
I |
( l - 2 x + 2y)da: = ^ . |
Ответ. {-X-]-Ay + Sz) da = "Is"'
Условия ЗАДАЧ. Вычислить поверхностные интегралы.
l.jlxyzda, |
Е = |
<|(x,T/,z) : х > О, т/> 0,'z > О Г* |
JJ{y-^z)da, |
Е = |
< (x,2/,z) : |
|
|
>0, у > 0 , z > O J |
336 |
|
|
|
Гл. 13. Поверхностные интегралы |
|
|
|
|
3. 11 (зх |
+ |
^z) |
da, |
Е = I (х,у,z) : |
ж4-2//2 + г/3 = 1, |
^ > 0 , |
г/>0, |
|
z > 0 |
|
Г Г |
|
|
|
|
Г |
a; + |
22/ + 3z = |
l, |
|
4. |
/ / ( x + lSy-f |
24z)d(7, |
E=U2^,y»'^): |
a^>0, |
y > 0 , |
|
z > 0 |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
zda, |
|
|
|
E = |
^ (ж,2/,^) : |
a;2 + у2 + |
2:2 = |
1, |
I |
|
|
|
z>0 |
|
|
|
|
|
I |
6. |
{x + у Л- z) da, |
E = |
< (x, 2/, 2:) : |
2^>0, |
2/>0, |
;^>0 |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
/bdcT, |
|
|
E=: <(x,2/,2;): |
0 < г < |
1 |
|
|
|
J |
S. JJ{x^ |
+ y^)da, |
Е = | ( х , 2 / , г ) : |
x2 +2/2-^2 |
= 0, |
I |
0<z<l |
|
|
|
|
J |
9. |
{xy-\-yz-\- |
zx)da, |
E = < ( x , 2 / , z ) : |
0 < z |
< 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. [fV^^T^da, |
|
|
|
x^ + 2/2 - |
42;2 = |
0, |
|
|
^={{x,y,z): |
|
|
1/2 |
|
|
|
|
J J |
|
|
|
|
I |
0 < z < |
|
|
|
Ответы. |
1. |
V3/120. |
2. \/3/3. 3. 35/6. |
4. |
\/Т4/2. |
|
5. 27г. |
6. \/3/2. |
7. 12(1 + б\/3)7г/15. |
8. \/27г/2. |
9. 0. |
10. \/57г/3. |
13-2. Интеграл по цилиндрической поверхности
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить поверхностный интеграл
/ / f{x,y,z)da,
Е
где Е — часть поверхностей х^ Л- у^ — г^, вырезаемая плоскостями Z — О и Z = h.
13.2. Интеграл по цилиндрической поверхности |
337 |
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные координаты
^ж = gcos^p,
Z — Z.
в этих координатах поверхность задается условиями
5 ] = |
< (^,^,z): |
0 < ^ < 2 7 Г , > . |
|
|
|
|
О < Z < /i |
|
2. Так как |
da == rd(pdz^ |
|
|
|
то |
|
27Г |
h |
|
|
|
|
/ / f{xjy^z)da |
= r |
d(f |
f {r cos (fJ r sin if, |
z)dz. |
E |
|
0 |
0 |
|
3. Вычисляем повторный интеграл и записываем ответ. |
ПРИМЕР. ВЫЧИСЛИТЬ поверхностный интеграл |
|
|
/ / |
{х'^ + у'^) da, |
|
где Е — часть поверхности |
ж^ + 2/^ = 1, вырезаемая |
плоскостями |
г = 0, z = 2. |
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ.
1. Вводим на заданной поверхности (цилиндре) криволинейные координаты
X = gcosip, у = gsinif,
Z — Z.
в этих координатах поверхность задается условиями
338 |
Гл. 13. Поверхностные интегралы |
2. |
Так как da — 1 - c?(p(izHX^ + y^ = l, то имеем |
|
|
27Г |
2 |
|
11 {х^ -^y^)d(T= |
d(p |
dz. |
|
s |
0 |
0 |
3. |
Вычисляем повторный интеграл: |
|
|
27Г |
2 |
|
|
{х'^ + y^)da= |
d^ |
dz = A7r. |
|
о |
о |
|
Ответ.
Условия ЗАДАЧ. Вычислить поверхностные интегралы.
|
1. / / xda, |
z = 0, z = 2 |
|
Е |
|
|
Е+ z) dcr,
2
E
5. ff{2-x^~y^)d(7,
E
Е=
Е=
S (a;, 2/,^) •
S (ж, 2/, 2:) :
E =
x2 + 2/2 = 4, z = 0, 2; = 4
ж^ + у^ = 1, Z = 0, Z =:= 1
x2 4- у2 = 2, z = 0,z = l
x^ + y^ = h z = 0, z = 2
|
6. ff{x'^ + z)da, |
E = |
x'^-\-y^ = h |
|
;г = 0, |
z = |
3 |
|
|
|
|
7. II y/^Vy^dcj, |
E = |
x2 -f г/2 = |
4, |
|
2 = 0, |
z = l |
|
|
|
|
13.3. Интеграл по сферической поверхности |
339 |
I. |
{xy-\-z'^)da, |
Е= |
l{x,y,z) : |
х2 +2/2 = 1, |
2 = 0, z = |
l |
}. Л |
^9-x^-y^da, |
Е - |
I (х, у, z) : |
х'^ + у^ = 1, |
Z = о, z = l |
х'^ + у'^ = 2, 1 0 . / / / Z л- х'^ + у"^ da, Е = < {х, у, z) : 2 = 0, z = 2
Ответы. |
1. |
0. 2. 0. 3. 27г. 4. 0. 5. Атг. 6. 127г. 7. Зтг. |
27г/3. 9. |
47Г. |
10. 327Г . (А/2 - 1)/3 . |
13.3. Интеграл по сферической поверхности
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Вычислить поверхностный инт^еграл
/ / f{x,y,z)da,
где Т, — верхняя полусфера
х'^-{-у'^+ z'^ = г^, |
z>0. |
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Вводим на заданной поверхности (сфере) криволинейные коор динаты
^ж = gcosipsmO, у = ^siiK^sin^,
Z = gcosO.
Вэтих координатах поверхность задается условиями
д = г,
Е = < {д,в,^р): 0 < ^ < 7 г / 2 ,
