Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)
.pdf322 |
Гл. 12. Кратные интегралы |
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1.Поскольку П ограничена сферой и круглым конусом, удобно перейти к сферическим координатам
X = ^cos</?sin6,
у = gsm(psm9,
Z = QCOSO.
Возможные границы изменения сферических координат суть
0 < ^ < О О , 0 < ^ < 7 Г , 0 < < ^ < 2 7 Г .
При этом (^, 0, у?) G П', а искомый интеграл определяется формулой |
||||||
III-f{x,y^z)dxdydz |
= |
|
|
|
|
|
-IIIf{g cos ip sin 9, g sin ip sin в, g cos в) g sin в dg dO d(p. |
||||||
2. Заменяем |
в уравнениях |
поверхностей х на ^ cos (^ sin в, |
у |
на |
||
^sin if sine и Z КЗ. дcos ^. Получаем |
|
|
|
|||
|
|
g = R, |
tge |
= ±\a\. |
|
|
3. Зададим область Q' с помощью системы неравенств: |
|
|
||||
|
|
0<g<R, |
|
|
|
|
|
|
Oi<e< |
02, |
|
|
|
|
|
О < (^ < |
27Г, |
|
|
|
где границы изменения в находим, |
решая уравнение tg0 = ±|а| и |
|||||
учитывая, что в может изменяться только от О до тг. |
|
|
||||
ЗАМЕЧАНИЕ. |
ЕСЛИ О. ограничена также плоскостями у = |
kix |
и |
|||
у = к2Х, проходящими через ось 0Z, |
уравнения которых в сферичес |
|||||
ких координатах имеют вид tg(p = ki и tg(p = к2, находим границы изменения (р, решая эти уравнения.
4. Переходим от тройного интеграла к повторному:
/ / / f{x,y,z)dxdydz |
= |
п |
|
12.11. Тройной интеграл в сферических координатах |
323 |
|||
~ |
-^(^ ^^^ ^ ^^^ ^' ^ ^^^ ^ ^^^ ^' ^ ^^^ ^) ^^ ^^^ ^ ^^ ^^ ^^ |
~ |
||
= |
dip smOde |
f{gcos(psme,gsm(f |
sine, QCOsO) Q^ dg, |
|
06/i
ипоследовательно интегрируем, используя свойства определенного интеграла.
Записываем ответ.
ПРИМЕР. Вычислить тройной инт,еграл
Г.2
j 1] ^^Г^^^'^У^^^
2(?e область Г2 ограничена поверхностями
,2 , 7,2
РЕШЕНИЕ.
1.Поскольку О. — область, ограниченная верхней полусферой и верхним полуконусом, удобно перейти к сферическим координатам
X = дcos if sine,
z = gcosO.
При этом {д,в,(р) G Cl', a искомый интеграл определяется форму
лой
/ / / ~ |
^dxdydz = |
cos^ ifд^ sin в dgd9d(f. |
2. Заменяем в уравнениях поверхностей х на ^cos(^sin^, у на ^sin(/?sin^ и Z на gcosO. Получаем
^= 6, tg6> = \/3.
3.Зададим область Q' с помощью системы неравенств:
|
О < ^ < |
6, |
П' = < {д,в,^): |
0 < ^ < 7 г / |
3 , \ , |
|
0<(р<27г. |
|
324 |
|
|
|
Гл. 12. |
Кратные интегралы |
|
|
|
|||
4. Переходя от тройного интеграла к повторному и последова |
|||||||||||
тельно интегрируя, получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||
/ / / ~2 |
|
2 ^^dydz— |
j |
I j |
cos^ (pQ^ sin в dg dO dip |
= |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
27Г |
ТГ/З |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
/ cos^ (pdp(f dip |
|
dg = Збтг. |
||
Ответ. |
/ |
X |
2 ^^ ^^ ^^ |
~ |
^^^' |
|
|
|
|||
/ / -2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия |
|
ЗАДАЧ. Вычислить |
тройной инт^еграл по области |
Q, |
|||||||
ограниченной |
заданными |
поверхностлми. |
|
|
|
||||||
Г Г Г |
|
х^ |
|
|
|
|
|
|
[х^+у |
|
|
2. |
|
-j—^dxdydz, |
|
|
z = |
>/Зб~^^^^"^2^^^, |
^"^V |
63 |
* |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^' J J |
J |
|
х^ + у^'^'''^^'^^' |
|
|
|
|
|
x^ + 2/^ |
||
|
|
|
|
^ = ^ 1 6 - ^ ^ - 2 / " ' ^ = Y |
|
||||||
15
ж^ + 2/^
X^ + у2
x2 +2/^
n
x2 +2/^
12.12. Вычисление объемов с помощью тройного интеграла |
325 |
||
' / / / |
dx dy dz, |
z = y/SQ — ж^ — 2/2, z = x^ |
-\r 2/2 |
\/а;2 + 2/2 |
|
|
|
Ответы. |
1. 757Г/2. 2. бЗтг. 3. 0. 4. 0. 5. 0. 6. 27г. 7. бтг. |
^. 0. 9. 0. |
10. 0. |
12.12.Вычисление объемов с помощью тройного интеграла
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти объем тела П, ограниченного за данными поверхностлми.
ПЛАН РЕШЕНИЯ. ИСКОМЫЙ объем равен
V= fffl-dxdydz. |
(1) |
п |
|
1.Зададим область Q неравенствами.
2.Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и запи сываем ответ, не забывая о размерности.
ПРИМЕР 1. Найти объем тела П, ограниченного поверхностями
ж = 1772^, x = 2 v ^ , z = ~ - 2 / , z = 0.
РЕШЕНИЕ.
1. Зададим область О. неравенствами. Поскольку 17у/2у > 2>/2у, для X имеем неравенства 2у/2у < х < 17\/2у. Поскольку у фигурирует под знаком квадратного корня, у > 0. Для z возможны неравенства О < г < 1/2 - 2/ или l/2-y <z <0. В первом случае О < у < 1/2. Во втором случае у > 1/2, т.е. область неограничена, что неприемлемо.
326 |
Гл. 12. Кратные интегралы |
||
Итак, |
|
|
|
П = |
I (х,г/,2): |
0 < 2 / < 1 / 2 , |
\ , |
|
|
О < Z < 1/2 - |
г/ |
2. Вычисляем объем по формуле (1), сводя тройной интеграл к повторному:
V = / / / 1 • dx dy dz = dy / dx / dz = 1.
Ответ. У = 1 ед. объема.
Пример 2. Найти объем тела f2, ограниченного поверхностями
z = -Vx^^^, |
11 |
z = — -x^-y'^. |
РЕШЕНИЕ.
1.Поскольку П — тело вращения вокруг оси 0 Z , удобно исполь зовать цилиндрические координаты
X = Q cos V?,
у = Qsinip,
Z = Z.
При этом {g^ip^z) G J1', а искомый объем определяется формулой
V= f f f gdgdifdz, |
(2) |
где область Cl' ограничена поверхностями
9 |
11 |
о |
2. Зададим область О. неравенствами. Возможны два случая: либо 9д/2 <z< 11/2-д'^, либо 11/2-^^ <z< 9д/2. В первом случае ^ < 1, во втором случае ^ > 1, т.е. область неограничена, что неприемлемо.
Итак,
0 < |
^ < 1 , |
^'=1 (Q.^.Z): |
9g/2<z<ll/2-g\ |
О < |
v? < 27Г |
12.13. Вычисление массы тела |
329 |
ПРИМЕР 1. Найти массу тела 0^ с плотностью /i = 2ж, ограничен ного поверхностями
X = 2у/2у, X = у/2у, z = l - y , z = 0.
РЕШЕНИЕ.
1. Масса тела Cl с плотностью /х = 2ж определяется формулой
т = / / / |
2xdxdydz. |
|
2. Зададим область D. неравенствами. |
Поскольку 2л/2у > \/2^, |
|
для X имеем неравенства >/2у < х < 2у/2у. |
Поскольку у фигурирует |
|
под знаком квадратного корня, у > 0. Для z возможны неравенства
О < Z < 1 — у или l — y<z<0. |
В первом случае О < у < 1. Во втором |
||||
случае 2/ > 1, т.е. область неограничена, что неприемлемо. |
|||||
Итак, |
|
V^<x< |
2у^, |
|
|
|
|
|
|||
П= |
l{x,y,z): |
0 < 2 / < |
1, |
|
|
|
|
0<z<l-y |
|
|
|
3. Вычисляем т , |
сводя тройной интеграл к повторному: |
||||
|
|
1 |
2^2^ |
1-у |
|
т = / / / |
2xdxdydz |
— I dy |
I 2xdx |
dz = 1. |
|
^ |
|
0 |
y % |
0 |
|
Ответ, m = 1 ед. массы.
ПРИМЕР 2. Найти массу тела Q с плотностью fi "= z, ограничен ного поверхностями
РЕШЕНИЕ.
1. Масса тела О. с плотностью /i = z определяется формулой
т = / / / |
zdxdydz. |