1Задание

1. Двойным интегралом от функции (x,y) , непрерывной в замкнутой области G­­­R² , называется (x,y)dxdy, предел интегр-ой суммы (x_i,y_i)·∆Si когда n→∞, т.о. ∃maxdi→0 (x_i,y_i)dSi

2. С помощью двойного интеграла объём тела V={(x,y,z):f(x,y)≤z≤0, (x,y)G} записывается в виде: V=(x,y)dxdy

3. Если функция (x,y), ((x,y)G) – плотность распределения масс, то физический смысл интеграла (x,y)dxdy есть масса плоской пластинки G.

4. Геометрический смысл интеграла V есть объём области V

5. Интеграл G равен площади области G.

6. Тройным интегралом от функции f(x,y,z), непрерывной в замкнутой области , называется предел последовательности интегральных сумм(x_i,y_i,z_i)∆Vi

7. Если f(x,y) – неотрицательная интегрируемая функция в области G, то геометрический смысл (x,y)dxdy есть объём цилиндрического тела с основанием G ,с образующими ∥ оси OZ и ограниченной сверху поверхностью z=(x,y)

8. Если функция (x,y,z), (x,y,z)V, - плотность распределения масс, то физический смысл интеграла (x,y,z) есть масса неоднородного тела с плотностью (x,y,z) в т.М(x,y,z)

9. Масса пластинки GR² с плотностью (x,y), (x,y)G равна (x,y)dxdy

10. Площадь области GXOY равна xdy

2 Задание

1. Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы на G, f(x,y)≤g(x,y) на G и dG=A, а dG=B, то 2 A  B

2. По теореме о сведении двойного интеграла к повторному, если функция (x,y) интегрируема на G, где G={(x,y):φ(x)≤y≤ψ(x), a≤x≤b}, то (x,y)dG равен (x,y)dxdy=(x,y)dy]dx

3. По свойству линейности, если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы на G, тогда для любых чисел A и B сумма AdG+BdG равна Af+Bg)dG

4. По свойству аддитивности , если области G, G₁ и G₂ такие, что G₁G, G₂=G\₁, а функция f(x,y) интегрируема на G, то f интегрируема на G₁ и G₂ причём dG равен dG+dG

5. По свойству линейности, если функции f(x,y,z) и g(x,y,z) – интегрируемы на V, тогда для любых чисел A и B интеграл Af+Bg)dV равен AdV+BdV

6. По свойству монотонности тройного интеграла, если функция f(x,y,z) неотрицательна и интегрируема на G, то выполняется неравенство (x,y,z)dxdydz≥0

7. По свойству монотонности двойного интеграла, если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы на G и f(x,y) ≤g(x,y) на G, то (x,y)dxdy≤(x,y)dxdy

8. По свойству аддитивности, если области G, G₁ и G₂ такие, что G₁G, G₂=G\и функция(х,у) - интегрируема в G, то (x,y) интегрируема на G₁ и G₂, причем сумма dG+dG равна dG

9. По свойству об оценке двойного интеграла, если f(x,y) интегрируема на G и m f M (m,M-const), то выполняется неравенство dxdy≤(x,y)dxdy≤dxdy

10. По свойству двойного интеграла, если f(x,y) и |f(x,y)| интегрируемы на G, то для |dG| и f|dG выполняется неравенство |dG|≤f|dG