29.Площа області на поверхні (з доведенням).

Нехай F – регулярна поверхня, G – область на цій поверхні, обмежена скінченим числом кусково-гладких кривих. Розіб'ємо область G на маленькі області кусково-гладкими кривими. Нехай g – одна з таких областей. Візьмемо в області g точку P . Побудуємо в точці P дотичну площину й спроектуємо всю область g на цю дотичну площину. У дотичній площині одержуємо область g . Під площею області G будемо розуміти число

, де S(g) – площа плоскої області g , V(g) – діаметр області g .

Нехай поверхня F : r ru, v визначена на множині V , тобтоu, v∈V . Розглянемо комірку

MM 1M 2 M 3 : M ru, v , M1 ru du, v ,

M 2 ru, v dv , M 3 ru du, v dv ,обмежену координатними лініями : u const і : v const . Для довжин сторін MM1 і MM 2 маємо:

dS ² g ₂₂dv ² r_v² dv ², S ,

dS ² g ₁₁dv ² r_u² du ², S ,

Замінимо комірку паралелограмом зі сторонами dS й і позначимо через його площу. Тоді

30.Ізометричні відображення поверхні. Теорема про ізометрії. Поняття про внутрішню геометрію поверхонь.

Нехай заданы 2 пов-ти:F₁, F₂. Точечное отображение называется изометрией, если оно сохраняет длины соответствующих кривых., при этом сами пов-ти называются изометричными.

Критерий изометричности: Для того, чтобы 2 пов-ти были изометричными НиД, чтобы на них существовали такие параметризации, относительно которых первые квадратичные формы полностью одинаковы(с точностью до обозначений).

Совокупность инвариантов изометричного отображения поверхности называется внутренней геометрией поверхности.

31.Список інваріантів внутрішньої геометрії поверхні.

Соответственно с критерием изометричности инвариантными являются такие свойства поверхности, которые можно выразить только через коефициенты І-ой квадратичной формы:

1. длинна дуги кривой, лежащей на поверхности; 2)угол между кривыми; 3) площадь обл. на поверхности; 4) полная кривизна поверхности; 5) геодезическая линия.

32. Друга квадратична форма поверхні. Обчислення її коефіцієнтів.

33. Теорема про геометричний зміст другої квадратичної форми поверхні.

33. Нормальний перетин поверхні. Нормальна кривина нормального перетину. нормальні перетини в околі еліптичної, гіперболічної, параболічної точок.

Нормальная кривизна нормального сечения с точностью до знака совпадает с обычной кривизной этого сечения; это свойство упрощает задачу вычисления нормальной кривизны кривой; можно рассматривать только кривизны нормальной кривой

В окресности элиптических точек все нормальне сечения либо выпуклы, либо вогнуты (поверхность расположена по одну сторону от касательной плоскости)(локально).

В окресности гиперболических точек нормальное сечение является либо прямой, либо кривой, имеющей в т.М перегиб.(т.е. в окресности гиперболических точек поверхность расположена по разные стороны от касательной плоскости)

33. Нормальна кривина кривої на поверхні та її властивості. Теорема Менье.

36. Обчислення нормальної кривини.

36. Головні напрямки та головні кривини поверхні. Теорема про існування головних напрямків (з доведенням).

Головними кривинами поверхні в точці P називаються найбільше і найменше із нормальних кривин в цій точці. Головними напрямками поверхні в точці P називаються напрямки кривих поверхні, що мають в точці P головні кривини. Головні кривини позначаються k1 , k 2 .

У кожній точці поверхні існують або два і лише два взаємно ортогональних головних напрямка, або будь-який напрямок є головним.

36. Обчислення головних кривин та головних напрямків.

36. Асимптотичні напрямки. Існування асимптотичних напрямків.

36. Зв’язок нормальної та геодезичної кривин з кривиною кривої.

36. Асимптотичні лінії поверхні. Критерій асимптотичної лінії (з доведенням).

36. Повна та середня кривина поверхні, їх обчислення

36. Лінії кривини поверхні. Теорема про існування ліній кривини.

Крива на поверхні називається лінією кривини, якщо у кожній її точці її дотична пряма має головний напрямок. Лінія на поверхні називається лінією кривини, якщо її напрямок в кожній точці являються головним напрямком, значить рівняння являється рівнянням лінії кривини.

Теорема. Через кожну не омбілічну точку поверхні проходить дві і тільки лінії кривини.

Теорема. Координатна сітка лінії на поверхні являється сіткою ліній кривини тоді і тільки тоді, коли .

36. Характеристична властивість сфери.

Теорема. Регулярна поверхня класу C3 є сферою тоді і тільки тоді, коли будь-яка її точка омбілічна.

36. Критерій координатності ліній кривини.

Теорема. Координатная сеть поверхности является сетью линий кривизны тогда и только тогда, когда g12=0 h12=0.

36. Теорема Ейлера та наслідки з неї.

Нехай - це кут, який утворений довільним напрямком з головними напрямками і - нормальна кривина в цьому напрямку, - головні кривини.

Формула Ейлера для нормальної кривини в довільному напрямку має вид: .

36. Дериваційні формули Вейнгартена.

Дериваційні формули гаусового репера називаються дериваційними формули Вейнгартена.

Д ериваційні формули Вейнгартена мають вигляд

36. Класифікація точок поверхні. Характеристична властивість площини.

50. Означення омбілічної точки поверхні. Критерій омбілічної точки.

Точка поверхні називається омбілічною, якщо в ній головні кривини співпадають, або, що те ж саме, в цій точці будь-який напрямок є головним. Таким чином, в омбілічній точці нормальна кривина будь-якого нормального перетину є головною і всі вони рівні між собою.

Критерій омбілічної точки.

Точка поверхні є омбілічною тоді і тільки тоді, коли в ній пропорційні коефіцієнти першої і другої квадратичних форм, тобто

h₁₁/ g₁₁= h₁₂/ g₁₂ = h₂₂/ g₂₂.