23. Криволінійні координати, координати лінії поверхні. Завдання кривої на поверхні.

Криві на поверхні r = r (u,v), що мають внутрішні рівняння u=t, v=v₀=const, й v=t, u=u₀=const, називаються координатними лініями. Координатні лінії регулярної поверхні утворюють дві сім’ї регулярних кривих.

Нехай r = r (u,v) – векторне рівняння регулярної поверхні. u=u(t), v=v(t) – внутрішні рівняння кривої γ : t є R → (u(t),v(t)) - r(u(t),v(t))

Таким чином в реультаті композиції, кожному t ставиться у відповідність r(u(t),v(t))= R(t).

Т.к. R(t) – векторна функція одного скалярного аргумента, то ми отримаємо криву в просторі R².

24. Дотична площина та нормаль параметризованої поверхні. Їх рівняння.

Площина, що проходить через точку M₀ поверхні F й містить всі дотичні прямі до всіх регулярних кривих поверхні, що проходять через цю точку, називається дотичною площиною поверхні в даній точці. Позначають T_М0F. Нормаллю регулярної поверхні в даній її точці називається пряма, що проходить через цю точку й перпендикулярна дотичній площині поверхні в даній точці Дотична площина визначається точкою М₀(u₀,v₀), й направляючим бівектором [ r_u(u₀,v₀), r_v(u₀,v₀)]. Рівняння дотичної площини та нормалі мають відповідно вигляд

α(x-x₀) + β(y-y₀) – γ(z-z₀) = 0,

(x-x₀)/α + (y-y₀)/β – (z-z₀)/γ = 0,

Де α,β,γ – координати вектора [r_u,r_v](M₀).

25. Дотична площина та нормаль для неявно заданої поверхні.

Якщо поверхня задана неявно рівнянням F(x,y,z)=0 і вектор ∆F(F_x,F_y,F_z)≠0 у точці M₀(x₀,y₀,z₀), то вектор ∆F перпендикулярний до дотичної площини поверхні в точці M . Рівняння дотичної площини й нормалі поверхні F(x,y,z)=0 в точці M₀(x₀,y₀,z₀), мають відповідно вигляд

F’_x(M₀)(x-x₀) + F’_y(M₀)(y-y₀) + F’_z(M₀)(z-z₀) =0,

(x-x₀)/ F’_x(M₀) + (y-y₀)/ F’_y(M₀) + (z-z₀)/F’_z(M₀) =0,

де M₀(x₀,y₀,z₀) - довільна точка дотичної площини або нормалі.

26. Означення та властивості першої квадратичної форми поверхні.

Нехай F – регулярна поверхня, задана рівнянням r = r (u,v). У будь-якій точці М= r(u,v) є F, існує локальний репер {M,r_u,r_v}, вектори базису якого визначають дотичну площину T_МF. Будемо розглядати дотичну площину як двовимірний векторний простір. Вектори цього простору мають вигляд dr = r_udu + r_vdv. Введемо в T_МF структуру евклідового простору за допомогою скалярного добутку векторів і знайдемо наступну квадратичну форму від du, dv

dr²=g₁₁du²+2g₁₂dudv+g₂₂dv² , де

g₁₁= (r_u,r_u)

g₂₁=(r_u,r_v)

g₂₂=(r_v,r_v).

вона наз. першою квадратичною формою поверхні. Для регулярної поверхні перша квадратична форма завжди додатньовизначена.

27. Довжина кривої на поверхні. Геометричний зміст першої квадратичної форми.

Довжина дуги кривої обчислюється за формулою

Перша квадратична форма поверхні є квадратом диференціала довжини дуги кривої, що лежить на поверхні. Це твердження розкриває геометричний зміст першої квадратичної форми.

28. Кут між кривими на поверхні. Критерій ортогональності сітки поверхні.

Кутом між кривими називається кут φ між дотичними прямими в точці перетину кривих. Для обчислення кута існує формула

Тут dv, du - координати направляючого вектора дотичної прямої до oднієї кривої відносно локального репера, оскільки dr = r_udu + r_vdv. Аналогічно δu,δv - локальні координати направляючого вектора дотичної прямої до другої кривої. В цій формулі коефіцієнти g_ij потрібно обчислювати в точці перетину кривих.

Теорема (критерій ортогональності координатної сітки поверхні): координатна сітка поверхні ортогональна тоді й тільки тоді, коли другий коефіцієнт першої квадратичної форми поверхні дорівнює нулю, тобто g₁₂=0.