Графическое решение игр вида 2×n, m×2

1.Линейное программирование. Исследование операций в экономике. Основные понятия

Дисциплина исследование операций имеет важное методологическое значение в системе мат. Подготовки современного экономиста. Наиболее четко реализуются одна из основных идей изучения курса высшей математики, идея матем. моделирования экономических процессов.

Исследование операций – наука занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами.

Операция – всякое управляемое мероприятие направленное на достижение поставленной цели.

Результат – зависит от способа ее провидения и организации т.е от выбора некоторых параметров.

Всякий определенный выбор параметров- решение. Оптимальные те решения которые предпочтительны другим.

2. Мат. моделирование операций.

Для решения экономической задачи необходимо построить мат. модели. При построении модели задача упрощается и схема описывается мат. аппаратов различного рода переменных функций уравнений, неравенств и их систем.

Мат. модель экономических процессов называют экономико-математической моделью (ЭММ). В настоящее время разработаны модели которые можно классифицировать по различным признакам:

1)задачи об использовании ресурсов (планирование производства)

2)задачи о рационе (о диете, смесях)

3)задачи о загрузке оборудования (об использовании мощностей)

4)задачи о перевозке грузов от поставщиков к потребителю (транспортные)

Задачу о планировании производства можно обобщатькогда предприятие выпускает n-различных изделий продукции p₁,p₂…p_n для их производства требуется m различных видов ресурсов(сырья) S₁,S₂…S_m. b_i – запас сырья. S_i известны также технологические коэффициенты a_ij которые показывают сколько единиц i-го ресурса требуется для изготовления j-го вида изделия( i=1…m, j=1…n)

Пусть прибыль получаемая предприятием при реализации 1цы изделия j-го вида = С_j j=1…n. Планируемый период все показатели a_ij b_i С_j предполагаются постоянными. Требуется составить такой план выпуска продукции при котором прибыль предприятия была бы наибольшей.

Сведем данные в таблицу:

Пусть x_n –количество ыпущенных изделий n-го вида. Тогда должны выполняться ограничения.

(1)

Причем x₁,x₂,…,x_n 0 (2)

Система линейных неравенств вместе с условием неотрицательности переменных составляют систему ограничений данной задачи по объему соответственного ресурса.В ходе выполнения плана можно использовать весь запас либо его часть. Требуется составить оптимальный план работы предприятия т.е найти такие неотрицательные значения x₁,x₂,…,x_n которые бы удовлетворяли системам ограничений и при которых прибыль от реализации была максимальной

(3)

Функция F – выражает конечную цель оптимального планирования т.е получение наибольшей прибыли поэтому ее называют целевая функция. Т.к переменные x₁,x₂,…,x_n входят и в целевую функцию и в системе ограничений в 1й степени а показатели a_ij b_i С_j являются постоянными то поставленная задача приобретает собой типичную задачу линейного программирования. Целевая функция в таких задачах носит название – линейная форма функции целей.

Система (1) – система функциональных ограничений

Неравенство (2) – условия допустимости решения.

Задача 1-3- задача на условный экстремум.

Методы решения изучаются в специальном разделе математики –математическое программирование

3. Общая задача ЛП

Важная задача экономики – наиболее эффективное использование материальных и трудовых ресурсов. Для их решения и служит математическое программированиев котором изучаются методя принятия оптимальных решений. Предметом МП – является разработка и изучение методов отыскания оптимальных значений функции нескольких переменных при допустимых значениях наложенных на них.

Общая задача МП – задача F(x)

1) если система функциональных обозначений состоит только из неравенств то такая задача ЛП – называется стандартной.

2) Если система(1) состоит только из уравнений- каноническая.

Общую задачу ЛП можно привести к канонической с помощью введения новых допустимых неотрицательных переменных.

4. Математический аппарат исследования операций.

Решение систем m уравнений с n неизвестными.

Общий вид такой системы:

С помощью метода Гаусса можно установить является ли система несовместной или совместной, а если она совместна то зависима ее уравнения или нет. Уравнения, представляющее собой следствие другого должны быть исключены. Будем считать, что такая проверка выполнена и уравнения системы независимы.

Любые m переменные системы m линейных уравнений с n неизвестными( m<n) называются основными, если определитель из коэффициентов при них отличается от нуля, тогда остальные n – m переменные называются не основные (свободные)

Основными могут быть разные группы из n переменных. Однако количество различных способов выбора m переменных из общего количества n переменных, конечно и оно равно числу сочетаний . Количество способов разбиения m переменных системы на основные и неосновные ограниченно этим числом и меньше этого числа, если хотя бы один из этих определителей равен 0.

Общим решением системы называется такое решение, в котором все основные переменные выражаются через свободные.

Базисное решение всякое решение системы, в котором неосновные переменные имеют значение 0. базисных решений системы также будет не более чем . В базисном решении свободные переменные =0 а основные отличаются от 0. но может оказаться что основные также равны 0 такое базисное решение – вырожденное.

Замечание: задача ЛП имеет оптимальное решение в одном из допустимых базисных решений и это число ограниченно и не превосходит

5. Выпуклое множество точек.

Множества, элементами которых являются точки, называются точечными, примеры: точки круга, прямой, луч, отрезок, угол, сектор и др. Примеры в пространстве: шар, призма. Точечные множества делятся на выпуклые и невыпуклые.

Множество точек называется выпуклым если вместе с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий эти точки.

Если существует хотя бы одна пара точек множества, что отрезок соединяющий эти точки не принадлежит целиком этому множеству то множество называется невыпуклым.

Теорема: пересечение(общая часть) двух выпуклых множеств также выпуклое множество.

Все точки выпуклых множеств можно разделить на 3 группы: внутренние, угловые и граничные.

Окрестность точки – круг (шар) бесконечно малого радиуса с центром в этой точке.

Внутренняя точка множества – если в некоторой ее окрестности содержатся точки данного множества.

Граничная точка множества –если в некоторой ее окрестности содержатся точки принадлежащие и не принадлежащие ему.

Угловая точка множества (крайняя)-если через нее нельзя провести не одного отрезка состоящего из точек данного множества и для которого она была бы внутренней.

Замечание: 1) понятие угловой точки вводится только для выпуклых множеств. Для невыпуклых это определение теряет смысл.

2) задачи ЛП имеют оптимальные решения в одной из угловых точек выпуклого множества системы неравенств