Глава II Численное моделирование теплового процесса приварки сварочной гильзы в полимерных армированных трубах
Постановка задачи
Расчетная
схема трубы с гильзой представлена на
рис. 1.
Рис. 1. Расчетная схема трубы с гильзой: 1 – стенка трубы; 2 – армирующий слой; 3 – воздух внутри трубы; 4 – сварочная гильза
Не теряя общности, будем считать, что гильза и основной материал трубы изготовлены из одного и того же материала. Предполагается, что распределение температуры в трубе и гильзе однородно по окружности, воздух внутри трубы неподвижен. Математическая задача ставится следующим образом.
Область ,
занятая гильзой и отрезком трубы, в
момент времени t>0
разбивается некоторой гладкой поверхностью
Г(t),
подлежащей определению, на две подобласти
и
,
занятые соответственно жидкой и твердой
фазами материала трубы и гильзы. В
каждой из областей
и
температура
удовлетворяет двумерному уравнению
теплопроводности в цилиндрических
координатах:
(1)
,
где T(r,z,t) – температура в момент времени t; с(Т) – коэффициент теплоемкости; (Т) – удельная плотность; (Т) – коэффициент теплопроводности; tm – время расчета; r, z – цилиндрические координаты; r1 – внутренний радиус трубы и гильзы; r2 – внешний радиус гильзы со спиралью; r3 – внешний радиус трубы. Индекс i=1 для твердой фазы материала трубы; i=2 для жидкой фазы материала трубы; i=3 для воздуха.
Нагревательный элемент рассматривается как сосредоточенный источник тепла:
(2)
.
(3)
где Q(t) – мощность источника; z1, z2 – координаты начала и конца спирали соответственно.
Распределение температуры в трубе и гильзе в начальный момент времени однородно, температура стенки равна температуре окружающего воздуха Т0:
.
(4)
На границе трубы и гильзы задается условие идеального теплового контакта:
,
(5)
.
(6)
На левой границе гильзы при z = 0 задается конвективный теплообмен с окружающим воздухом:
,
(7)
Учитывая низкую теплопроводность полиэтилена, примем, что на некотором удалении от зоны сварки температура трубы не изменяется на протяжении всего времени протекания процесса. Таким образом, на другом торце трубы задается условие:
.
(8)
На внутренней поверхности трубы и гильзы задается условие:
,
.
(9)
На внешней поверхности трубы происходит конвективный теплообмен с окружающим воздухом:
.
(10)
При r = 0 задается условие ограниченности решения:
.
(11)
Для учета теплоты фазового перехода при плавлении (кристаллизации) воспользуемся традиционной постановкой задачи Стефана. На границе раздела фаз кроме равенства температуры материала температуре фазового перехода
(12)
задается условие Стефана
(13)
где
- уравнение положения границы раздела
фаз Г(t)
в момент времени t;
L,
– удельная теплота и температура
фазового перехода соответственно.
Рис. 2 Конструкция трубы
Рис. 3. Подготовленная внутренняя поверхность трубы и монтаж сварочной гильзы: 1 – трубы; 2 – сварочная гильза