5. Метод суммарной аппроксимации

Необходимо указать общий метод получения экономичных схем, пригодных для уравнений с переменными и даже разрывными коэффициентами, для квазилинейных нестационарных уравнений в случае произвольной области любого числа измерений.

в произвольной р-мерной области G с границей Г, если заданы

Квазилинейное уравнение теплопроводности соответствует случаю

Конечно, термин «произвольная область» нельзя понимать буквально. Граница Г области должна быть достаточно гладкой, чтобы обеспечить существование гладкого решения u =u(х, t) исходной задачи (1)—(2). При оценке погрешности аппроксимации и точности разностных схем мы всегда предполагаем, что решение исходной задачи для дифференциального уравнения существует и имеет нужные по ходу изложения производные.

Все экономичные методы имеют одну общую алгоритмическую идею: процесс отыскания приближенного решения многомерной задачи разбивается на несколько этапов, на каждом из которых решается простая задача. Так, например, для уравнений второго порядка параболического или гиперболического типа такой простой, «первичной», алгебраической задачей является трехточечная разностная задача (разностное уравнение второго порядка), которая решается методом прогонки. Эта трехточечная разностная задача, как правило, может быть трактована как разностная. аппроксимация одномерного (по ) дифференциального уравнения. Таким образом, экономичный алгоритм решения сложных задач есть цепочка простых алгоритмов. Отсюда становятся понятными применяемые различными авторами термины для экономичных методов решения многомерных задач — метод переменных направлений (на каждом этапе решается одномерная задача по фиксированному направлению ), метод дробных шагов (любой сложный вычислительный процесс ведется поэтапно с использованием промежуточных (дробных) значений), метод расщепления (сведение более сложной к более простым задачам, «расщепление» сложной задачи на простые) и др. Все эти термины, отражая одну из сторон экономичных методов, имеют право на существование.

Пусть дано многомерное уравнение:

где L—линейный дифференциальный оператор, действующий на u(х,t) как функцию х, —точка р-мерной области G с границей Г, на которой заданы некоторые граничные условия. Для построения экономичных методов основную роль играет возможность представления оператора L в виде суммы операторов более простой структуры

Так, например, если

то есть оператор второй производной по аргументу

Поставим задаче в соответствие цепочку «одномерных» уравнений (первую цепочку).

перепишем в виде

где , – произвольные функции, удовлетворяющие условию нормировки На отрезке введем равномерную сетку с шагом . Каждый интервал разобьем на частей, введя точки , и обозначая – полуинтервал . Будем последовательно решать уравнения

полагая при этом

Решением этой задачи назовем значения .

Каждое из уравнений или

заменим разностной схемой:

В простейшем случае это двухслойная схема, связывающая значения

Например, это может быть схема с весами

где – произвольный параметр, .