Простейшая иерархическая структура маи с приоритетами, определенными по умолчанию

На рисунке показана иерархия, в которой приоритеты всех элементов не устанавливались ЛПР. В таком случае по умолчанию приоритеты элементов считаются одинаковыми, т.е. все четыре критерия имеют равную важность с точки зрения цели, а приоритеты всех альтернатив равны по всем критериями. Альтернативы в этом примере неразличимы. Сумма приоритетов элементов любого уровня, равна единице. Если бы альтернатив было две, то их приоритеты были бы равны 0.500, если бы критериев было 5, то приоритет каждого был бы равен 0.200. В этом простом примере приоритеты альтернатив по разным критериям могут не совпадать, что обычно и бывает на практике.

2.2 Приведем пример, в котором локальные приоритеты альтернатив по разным критериям не совпадают. Глобальные приоритеты альтернатив относительно цели вычисляются путем умножения локального приоритета каждой альтернативы на приоритет каждого критерия и суммирования по всем критериям.

Более сложная иерархическая структура, содержащая глобальные и локальные значения приоритетов по умолчанию

2.3 Если приоритеты критериев изменятся, то изменятся значения глобальных приоритетов альтернатив, следовательно, может измениться их порядок. На рисунке показано решение данной задачи с изменившимися значениями приоритетов критериев, при этом наиболее предпочтительной альтернативой становится A3.

2.4 Структуризация понятий начинается с фокуса-цели и продолжается по порядку уровней иерархии.

Номера уровней обозначаются индексом i=1,2 .. I; элементы уровня двойным индексом j_i=1_i,2_i .. J_i.

2.5 Разрабатываются шкалы парных субъективных оценок степени превосходства сравниваемых элементов структуры нижнего уровня (группа сравнения - дочерние вершины) при раскрытии понятия критерия верхнего уровня (материнская вершина).

Устанавливаются границы диапазонов возможных значений критерия верхнего уровня: S_min - минимальное значение диапазона , S_max - максимальное значение. Различают шкалы, имеющие реальные физические единицы измерения (количественные критерии), и шкалы критериев качественного характера (качественные критерии). Для шкал второго типа используется диапазон от S_min = 0 до S_max = 1. Предполагается, что суждения экспертов («оценка на глазок») относительно двух сравниваемых элементов отображают с определенной степенью точности значения элементов сравнения на соответствующей шкале: w₁ ( S_min , S_max) - предполагаемая величина первого сравниваемого элемента, принятого за эталонный, и любого другого из группы сравнения рассматриваемой иерархии w_i ( S_min , S_max). Для проведения экспертных суждений путем парных сравнений использована вопросно-ответная процедура со следующей дифференциацией: w₁/ w_к=S_i, S_i {S₁ - равная степень превосходства; S₃ - умеренная степень превосходства; S₅ - сильная степень превосходства; S₇ - значительная степень превосходства; S₉ -очень сильная степень превосходства}. Промежуточные значения S_i, i=2,4,6,8 , принимает между соседними суждениями. Предполагается для определенности, что w₁ w_i. Правомочность рекомендуемой шкалы субъективных суждений, доказана теоретически и оказалась эффективной во многих приложениях. Производится расчет интенсивности относительных суждений в соответствии со стоимостной шкалой возможных потерь:

del = S _max - S_min ;

kbant = 0.1 * del ;

zn = S_min + kbant;

S_i = S_min + i * kbant;

C_1i = S_i / zn, i=1,…, 9.

В том случае, когда w₁ < w_i, C_1i = 1/ C_1i.

2.6 Формируются элементы согласованной матрицы суждений.

[ Т. Саати,К.Кернс. "Аналитическое планирование. Организация систем."

Москва. "Радио и связь"1993г.].

Покажем, как, зная СМС, можно определить вектор значений элементов

сравнения w_i:

× = ,

где w11 = w1/w1, w12 = w1/w2, … w32 = w3/w2, w33 = w3/w3.

Таким образом, вектор является собственным вектором СМС.

7. Элементы последующих строк СМС (её размерность для

определенности равна 7. Большее количество элементов сравнения использовать

нецелесообразно из-за потери точности) определяются из следующих выражений:

C_ij= C_1j/ C_1i , i=2,…,7, j= i+1,…, 7, C_ij=1/ C_ji, если i>j.

Диагональные элементы согласованной матрицы по определению равны единицы: C_ii=1, i=1,…,7.

2.8 Определяется собственный вектор СМС.

2.8.1 Компоненты собственного вектора с точностью до нормирующего множителя равны w_i.

2.8.2 Перемножение элементов i-ых строк матрицы и извлечение корня

степени равной размерности СМС:

а_i= w_i/ ⁷( w_i , i=1…7)= ⁷ (C_ij, j=1…7 ), i=1…7.

2.8.3 Суммирование результатов предыдщего пункта:

S=( а_i, i=1…7) = ( w_i , i=1…7)/ ⁷( w_i , i=1…7).

Определение нормированных значений w_i:

w_i ^*= w_i/w_s= а_i / S, где w_s=( w_i , i=1…7).

2.9 Определяются абсолютные значения w_i:

2.9.1 Из множества нормированных значений w_i ^*, i=1…7, определяются минимальные и максимальные значения:

w _min^*= min{ w_i ^* } _i , w_max ^*={ w_i ^* }_i.

2.9.2 Определяется нормирующий множитель w_s=( w_i , i=1…7) из условия:

S_min  w_min^* _* w_s  w_max ^* _* w_s  S _max.

При отсутствии какой-либо дополнительной информации наилучшей оценкой w_s является

ew_s=( S_{min *} w_max ^* ₊ S _{max *} w_min^*)/(2 _* w_max ^* _* w_min^*).

2.9.3 В итоге имеем абсолютные значения возможных потерь по видам риска: w_i= w_i ^* ew_s , i=1…7.

Рассмотрим для примера простейшую иерархическую структуру: целевая родительская вершина – длина объекта; группа сравнения – автомобиль, велосипед, автобус.

Суждения об оценках	Величина оценки	Относительное превышение базового значения
0.Минимальное значение шкалы(MIZN)	1
1.Базовая оценка одного из элементов сравнения(ЭС)	2,4	1
2.Равная важность-Умеренно превосходит	3,8	1,583333333
3.Умеренно превосходит	5,2	2,166666667
4.Умеренно превосходит-Сильно превосходит	6,6	2,75
5.Сильно превосходит	8	3,333333333
6. Сильно превосходит- Значительно превосходит	9,4	3,916666667
7.Значительно превосходит	10,8	4,5
8.Значительно превосходит-Очень сильно превосходит	12,2	5,083333333
9. Очень сильно превосходит	13,6	5,666666667
10.Максимальное значение шкалы суждений(MAZN)	15	6,25

В мозгах экспертов запечатлены следующие данные:

• Длина велосипеда – 180 см (1м 80 см);

• Длина автомобиля – 400 см (4м);

• Длина автобуса – 1000 см (10м).

Согласованная матрица суждений
wi/wj	J =	1	2	3
I =	Оценить длину	Автомобиль	Велосипед	Автобус
1	Автомобиль	1,00	2,16	0,36
2	Велосипед	0,46	1,00	0,17
3	Автобус	2,75	6,0	1,00

Компоненты собственного вектора:

1. а1= ³0,78 = 0,92; а2= ³0,08 = 0,43; а3= ³16,5 = 2,55;

2. S = 0,92 + 0,43 + 2,55 = 3,9;

3. w₁ ^*= 0,92/3,9 = 0,24; w₂ ^*= 0,43/3,9 = 0,11; w₃ ^*= 2,55/3,9 = 0,65;

4. w_max ^* = 0,65; w_min^* = 0,11;

5. ew_s= (1*0,65 + 15*0,11)/(2*0,65*0,11) = 16,1;

6. w₁ = 0,24*16,1 = 3,9; w₂ = 0,11*16,1= 1,8; w₃ = 0,65*16,1= 10,5.

Суждения об оценках	Величина оценки	Относительное превышение базового значения
0.Минимальное значение шкалы(MIZN)	1
1.Базовая оценка одного из элементов сравнения(ЭС)	1,9	1
2.Равная важность-Умеренно превосходит	2,8	1,473684211
3.Умеренно превосходит	3,7	1,947368421
4.Умеренно превосходит-Сильно превосходит	4,6	2,421052632
5.Сильно превосходит	5,5	2,894736842
6. Сильно превосходит- Значительно превосходит	6,4	3,368421053
7.Значительно превосходит	7,3	3,842105263
8.Значительно превосходит-Очень сильно превосходит	8,2	4,315789474
9. Очень сильно превосходит	9,1	4,789473684
10.Максимальное значение шкалы суждений(MAZN)	10	5,263157895

Согласованная матрица суждений
wi/wj	J =	1	2	3
I =	Оценить длину	Автомобиль	Велосипед	Автобус
1	Автомобиль	1,00	1,95	0,41
2	Велосипед	0,51	1,00	0,21
3	Автобус	2,42	4,76	1,00

Компоненты собственного вектора:

1. а1= ³0,8 = 0,93; а2= ³0,11 = 0,48; а3= ³11,5 = 2,26;

2. S = 0,93 + 0,48 + 2,26 = 3,67;

3. w₁ ^*= 0,92/3,67 = 0,25; w₂ ^*= 0,43/3,67 = 0,13; w₃ ^*= 2,55/3,67 = 0,62;

4. w_max ^* = 0,62; w_min^* = 0,13;

5. ew_s= (1*0,62 + 10*0,13)/(2*0,62*0,13) = 11,9;

6. w₁ = 0,25*11,9 = 3; w₂ = 0,13*11,9 = 1,5; w₃ = 0,62*11,9 = 7,4.

ЛОБ Страница 52 Суммарное число страниц 54