Практичні завдання і контрольні запитання для підготовки до семінарських занять з курсу «Логіка»

ТЕМА 1

Семінар 1 (2 год.)

1. Проаналізуйте (а) походження і значення слова “логіка”, (б) словосполучення, в яких вживають це слово, а також (в) відповідні контексти вживання.

2. Що є предметом вивчення логіки?

3. Теоретичне і практичне значення логіки? Які чинники визначають і формують логічну культуру мислення?

4. Коротко проаналізуйте обставини розквіту логічних знань в Античній Греції, в добу християнського середньовіччя і на зламі ХІХ-ХХ ст.

5. Що таке міркування і умовивід? Яка їх структура? Наведіть декілька прикладів міркувань і проаналізуйте їх структуру.

6. Що із запропонованого переліку є міркуваннями? Відповідь обгрунтуйте. У випадках міркувань встановіть засновки і висновок.

(а) „Наступного тижня ви повинні поїхати додому, бо ви обіцяли батькам зробити це”.

(б) „Наступного тижня ви повинні поїхати додому і добре відпочити”.

(в) „Минулого року Андрій виграв змагання з марафону у Києві і з того часу багато і успішно тренувався. Тому він повинен виграти і у цьому році”.

(г) „Він зможе відвідати вас наступного тижня. Лікар запевнив, що друга операція не є необхідною і він зможе повернутися додому цієї п’ятниці”.

(д) „Його машина не втрималась на повороті і вдарила джип. Машина розбилась вщент, а джип потребує значного ремонту”.

(е) „Очевидно, що жодний видатний політичний лідер не страждав від недостатньої самооцінки”.

(є) „Минулого тижня компанія звільнила 300 службовців. Я вважаю такий крок виправданим, бо протягом трьох останніх місяців обсяг продажу товарів і послуг зменшився на 23%”.

(ж) „Багато людей вважають, що саме блискавка спричинює грім. Це – помилка”.

(з) „Вечорами я здійснюю пішохідну прогулянку. Зазвичай я вирушаю до парку і повертаюсь назад, що складає відстань у три кілометри, але вчора я дійшов лише до пошти”.

(и) „Ви помиляєтесь, якщо вважаєте, що можна слухати усі семестрові курси, працюючи лише двадцять годин на тиждень і все ж таки успішно скласти усі іспити сесії. Чи пам’ятаєте, що трапилось минулого року із вашими друзями?”

(і) „З часу війни у В’єтнамі американці не бажають застосовувати військове втручання, за виключенням випадків, коли успіх такого втручання є очевидним”.

7. Наведені міркування переформулюйте в логічно очевидному вигляді (in logic book style): визначте множину засновків (якщо необхідно, відновіть пропущені засновки) і висновок:

(а) „Деякі митці — талановиті. Це означає, що деякі письменники — талановиті, бо всі письменники - митці”.

(б) „Ця людина не є місцевим жителем, бо всі місцеві жителі знають дорогу до річки, а ця людина - не знає”.

(в) „Чорну пантеру можна приручити, якщо чорна пантера хижак, а всі хижаки можуть бути прирученими”.

(г) „Негайно потрібна допомога, бо щоденно гинуть близько двохсот чоловік”.

(д) „Він є винним, бо він почервонів”.

(е) „Кубла жовтоголової синиці досить легко виявити, оскільки вони знаходяться на кінчиках нижніх гілок”.

(є) „Оцінка сучасного мистецтва є нездійсненним завданням. Оцінювати твори мистецтва можна лише за наявності усталених правил і канонів, але в сучасному мистецтві відсутні усталені правила та канони”.

(ж) „Досить дивно, але послаблення існуючого пока­рання за керування автотранспортом у нетверезому стані матиме позитивний ефект. Пом'якшення покарання зробить суддів більш рішучими і готовими до винесення ви­років”.

(з) „Електричні струми у верхніх шарах атмосфери деякою мірою впливають на створення електромагнітно­го поля, інакше ми не могли б пояснити зв'язок між змінами в магнітних елементах та сонячною радіацією”.

(и) „Коли “барбаристи” діють як меншість у проф­спілках, то рішення офіційного керівництва завжди засуджуються як продажна політика. Звідси випливає малоймовірність припинення страйків доти, доки “барба­ристи” мають сильний вплив на профспілки”.

( і) „Вам не варто використовувати соду, бо це був джміль, а застосування соди лише погіршує стан після укусів оси або джмеля”.

(ї) „Вона пропустила більшу кількість лекцій, аніж відвідала. Не випадково, що вона не склала залік”.

(й) „Я заслуговую на кращу оцінку, аніж ‘задовільно’. Я дійсно працював систематично”.

(к) „Звинувачуваний не є винним у скоєнні злочину, бо він - божевільний”.

8. Запропоновані висловлювання можуть бути висновками міркувань. Для кожного випадку запропонуйте висловлювання-засновки (принаймні одне), які могли б “підтримати” висновок.

(а) „Ядерне роззброєння є ірраціональним”.

(б) „Лише особливо небезпечних злочинців варто тримати у в’язниці”.

(в) „Американці – надзвичайні індивідуалісти”.

(г) „З точки зору моралі є припустимим здійснювати медичні експерименти на тваринах”.

(д) „Суспільство зобов’язане надавати притулок бездомним”.

9. Чому необхідно розрізняти запитання: „Чи є міркуван­ня правильним/неправильним?” і „Чи є засновки і висновок міркування істинними/хибними?”. В якому випадку відповідь на друге запитання зумовлює однозначну відповідь на пер­ше запитання?

10. Що таке „софізм” і „паралогізм”? Наведіть приклади софістичних міркувань.

11. Як можна відрізнити правильне міркування від непра­вильного? Сформулюйте можливі способи (або критерії) такого розрізнення.

12. Які із наведених тверджень є істинними? Які твердження є хибними? Відповідь обгрунтуйте.

(а) Усі правильні міркування мають принаймні один хибний засновок.

(б) Кожне правильне міркування має ітинні засновки та істинний висновок.

(в) Деякі засновки є правильними.

(г) Правильне міркування може мати хибний висновок.

(д) Якщо правильне міркування має лише істинні засновки, тоді воно повинно мати істинний висновок.

(е) Деякі міркування є істинними.

(є) Якщо правильне міркування лише хибні засновки, тоді воно повинно мати хибний висновок.

(ж) Кожне правильне міркування, що має хибний висновок, має принаймні один хибний засновок.

(з) Деякі засновки є правильними.

(и) Якщо усі засновки міркування є істинним, то міркування є правильним.

(і) Якщо усі засновки міркування є істинним, а висновок є хибним, тоді міркування –

неправильне.

(ї) Кожне правильне міркування має істинний висновок.

(й) Деякі міркування є хибними.

(к) Якщо міркування є неправильним, тоді воно обов’язково повинно мати усі істинні засновки і хибний висновок.

(л) Кожному правильному міркуванню притаманна властивість: необхідно, якщо усі його засновки є істинними, то і висновок є істинним.

(м) Кожному правильному міркуванню притаманна властивість: необхідно, якщо усі його засновки є хибними, то і висновок є хибним.

(н) Деякі неправильні міркування складаються лише із хибних засновків і висновків.

13. Користуючись знанням специфіки і взаємозв’язку оцінок „правильність” та „істинність” дайте відповідь на запитання:

(а) Чи може правильне міркування мати хибний висно­вок?

(б) Чи може неправильне міркування мати істинний вис­новок?

(в) Що можна стверджувати про висновок правильного міркування, якщо всі його засновки є істинними?

(г) Що можна стверджувати про висновок правильного міркування, якщо принаймні один із його засновків є хиб­ним?

(д)Якщо міркування правильне, але його висновок — хибний, тоді, що можна стверджувати про його засновки?

(е) Чи може бути правильним міркування, всі засновки якого хибні, а висновок — істинний?

(є) Що можна стверджувати про міркування, усі заснов­ки якого істинні, а висновок — хибний?

(ж) Якщо міркування неправильне, але його висновок є істинним, тоді, що можна стверджувати про його засновки?

(з) Що можна стверджувати про правильність міркуван­ня, усі засновки і висновок якого є істинними?

(и) Що можна стверджувати про правильність міркуван­ня, засновки і висновок якого є хибними?

(і) Що можна стверджувати про засновки міркування з істинним висновком?

(ї) Що можна стверджувати про засновки міркування з хибним висновком?

(й) Коли (в яких випадках) у міркуванні можна отримати хибний висновок?

(к) Коли (в яких випадках) у міркуванні можна отримати істинний висновок? В якому випадку в процесі міркування гарантовано (обов'язково) отримують істинний висновок?

14. Встановіть правильність запропонованих міркувань, керуючись визначенням: „Міркування вважають правильним, якщо для нього неможлива ситуація, коли усі засновки істинні, а висновок – хибний”.

(а) „Сергій вивчає або право, або формальну семантику. Сергій не вивчає право. Отже, він вивчає формальну семантику”.

(б) „Сергій вивчає або право, або формальну семантику. Сергій вивчає право. Отже, він не вивчає формальну семантику”.

(в) „Ви граєте у NBA, тільки якщо ваш зріст перевищує 1м 80 см. Олег грає у NBA. Отже, зріст Олега перевищує 1м 80 см.”.

(г) „Ви граєте у NBA, тільки якщо ваш зріст перевищує 1м 80 см. Зріст Олега перевищує 1м 80 см. Отже, Олег грає у NBA”.

(д) „Ви граєте у NBA, тільки якщо ваш зріст перевищує 1м 80 см. Зріст Олега не перевищує 1м 80 см. Отже, Олег не грає у NBA”.

(е) „Ви граєте у NBA, тільки якщо ваш зріст перевищує 1м 80 см. Олег не грає у NBA. Отже, зріст Олега не перевищує 1м 80 см.”.

(є) „Іван - художник, а деякі художники бідні. Отже, Іван - бідний”.

(ж) „Андрій біжить швидко. Отже, Андрій біжить”.

(з) „Кожен поважає когось. Отже, когось поважають усі”.

(и) „Хтось поважає усіх. Отже, Кожного поважає хтось”.

(і) „Деякі птахи не літають. Отже, не кожний птах літає”.

(ї) „Якщо працювати систематично, то проблеми не виникатимуть. Отже, якщо виникатимуть проблеми, то робота не була систематичною”.

(й) „Якщо працювати систематично, то проблеми не виникатимуть. Отже, якщо не працювати систематично, то проблеми виникатимуть”.

(к) „Усі птахи – тварини. Жодне дерево не є птахом. Отже, жодне дерево не є твариною”.

(л) „Кожен лінгвіст є співаком. Мадонна – лінгвіст. Отже, Мадонна – співачка”.

(м) „Або 2 плюс 2 дорівнює 22, або Санта Клаус існує насправді. Але невірно, що 2 плюс 2 дорівнює 22. Отже, Санта Клаус таки справді існує”.

(н) „Усі планети круглі. Земля - планета. Отже, Земля є круглою”.

(о) „Усі планети круглі. Земля є круглою. Отже, Земля - планета”.

(п) „Шевченко гравець “Мілана”. Отже, Шевченко гравець “Динамо” або “Мілана”.

(р) „Шевченко гравець “Динамо” або “Мілана”. Отже, Шевченко гравець “Мілана”.

(с) „Дружина щаслива. Дружина щаслива, тільки якщо футбольний матч відмінили. Отже, футбольний матч відмінили”.

(т) „Футбольний матч відмінили. Дружина щаслива, тільки якщо футбольний матч відмінили. Отже, дружина щаслива”.

(у) „Андрію подобаються пісні Rainbow. Отже, чоловікові на ймення ‘Андрій’ подобаються пісні Rainbow”.

(ф) „Деякі інтелігентні люди - аморальні. Усі аморальні люди - нещасливі. Отже, деякі нещасливі люди не є інтелігентними.

(х) „Будь-яке створіння, що має нирки, має серце. Не кожне створіння має серце. Отже, не кожне створіння має нирки”.

(ц) „Викладач казав, що ніхто не отримає оцінку ‘відмінно’, якщо не буде присутнім на кожному семінарі. Я був присутнім на кожному семінарі. Отже, я отримаю оцінку ‘відмінно’”.

15. Що таке логічна форма міркування? Чи можуть дек­ілька міркувань різного змісту мати однакову логічну фор­му? Охарактеризуйте різні можливі способи виявлення ло­гічної форми міркувань і проблеми, що можуть виникати у зв'язку із різною „глибиною” виявлення логічної форми міркування.

16. Що таке „логічні терміни” і „нелогічні терміни”? Перелічіть типи (види) нелогічних термінів.

17. Встановіть логічну форму міркувань із вправи 14.

18. Встановіть логічну форму запропонованих міркувань і доведіть, що вони є неправильними (в дужках вказані значення істинності засновків і висновку):

(а)

„Усі гравці професійного баскетболу - атлети; (і)

Патрік Юінг - атлет ; (і)

(Отже) Патрік Юінг - професійний баскетболіст” (і)

(б)

„Усі філософи - греки; (х)

Зігмунд Фрейд - психолог; (i)

(Отже) Зігмунд Фрєйд - грек” (x)

(в)

„Усі кити - люди; (х)

Усі кити - ссавці; (і)

(Отже) Усі люди - ссавці” (і)

(г)

„Всі люди - риби; (х)

Лeссі - людина (х)

(Отже) Лессі - собака”. (і)

(д)

„Усі сенатори - християнські демократи; (х)

Леонід Кравчук – християнський демократ; (х)

(Отже) Леонід Кравчук - сенатор”. (х)

Чи можуть умовиводи іншої логічної форми, але із тими ж наборами значень істинності, що зазначені у випадках (а) — (д), бути правильними? Відповідь обгрунтуйте.

Семінар 2 (2 год.)

19. Сформулюйте (якщо це можливо) приклади міркувань для кожного серед зазначених у таблиці випадків (1) - (8). Якщо приклади сформулювати неможливо, поясніть чому саме.

Засновки Висновок Правильне Неправильне

міркування міркування

Істинні	Істинний	1	2
Принаймні один хибний	Істинний	3	4
Істинні	Хибний	5	6
Принаймні один хибний	Хибний	7	8

20. Чому науку логіку називають “формальною”?

21. Охарактеризуйте відношення логічного слідування і його значення для вирішення проблеми правильності міркувань.

22. У чому полягає нормативний характер логіки?

23. Проко­ментуйте тези:

(а) „Логіка - це наука не про існуюче, а про належне”.

(б) „Необхідний харак­тер логічних законів - це не та необхідність, яка притаманна, наприклад, законам гравітації”.

24. Чому дослідження формальною логікою правильних міркувань передбачає не лише їх опис, але й можливість їх конструювання? Чи є логіка емпіричною наукою?

25. Що таке „висловлювання”? Які висловлювання вважають істинними/хибними? Які існують способи встановлення істинності/хибності висловлювань?

26. Які висловлювання вважають логічно істинними, логічно хибними і логічно недетерміиованими?

27. До якого типу висловлювань (логічно істинні, логічно хибні, логічно недетерміновані) належать запропоновані висловлювання. Відповідь обгрунтуйте.

(а) „Усі філософи - скептики і деякі філософи не є скептиками”.

(б) „Кількість книг у ЦНБ ім. В.Вернадського є пар­ним числом”.

(в) „Кентаври існують або вони не існують”.

28. Що таке „логічний закон” і „логічна суперечність”?

29. Охарактеризуйте закони суперечності, виключеного третього, тотожності, достатньої підстви.

30. На якій підставі виділяють демонстративні та правдо­подібні міркування? Що є суттєвою ознакою демонстративних мір­кувань?

31. У чому полягає специфіка міркувань за аналогією?

32. На якій підставі виділяють теоретичні і практичні мірку­вання? Наведіть приклади теоретичних і практичних мірку­вань.

33. Уявіть лоцмана, що веде корабель через океан, астро­нома, який споглядає зірки, і астролога, що створює горос­коп. Припустимо, що кожен з них міркує: „Сіріус з'явився над Кассіопеєю”. В яких випадках міркування будуть теоре­тичними, а в яких - практичними? Відповідь обгрунтуйте (Ишмуратов А. Т. Логический анализ практических рассуждений. - К.: Наук, думка, 1987. - с.7).

34. У чо­му по­ля­га­ють фу­н­к­ції при­ро­д­них мов? У чо­му по­ля­гає спе­ци­фі­ч­ний ін­те­рес ло­гі­ки до при­ро­д­ної мо­ви?

35. Як спів­від­но­сять­ся між со­бою по­нят­тя: „при­ро­д­на мо­ва”, „шту­ч­на мо­ва”, „фо­р­ма­лі­зо­ва­на мо­ва”?

36. Яка ме­та ство­рен­ня фо­р­ма­лі­зо­ва­них мов?

37. Про­ко­ме­н­туй­те те­зи:

(а) „Фо­р­ма­лі­зо­ва­ні мо­ви не ство­рю­ють для за­мі­ни мов при­ро­д­них”.

(б) „Фо­р­ма­лі­зо­ва­ні мо­ви - це спро­ще­ні фра­г­ме­н­ти мов при­ро­д­них”.

38. Що та­ке „си­н­та­к­сис ме­та­мо­ви” і „се­ма­н­ти­ка ме­та­мо­ви”? Ви­зна­ч­те фо­р­ма­лі­зо­ва­ну мо­ву із ура­ху­ван­ням цих по­нять. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те за­га­ль­ну схе­му по­бу­до­ви фо­р­ма­лі­зо­ва­ної мо­ви.

39. У чо­му по­ля­гає сут­ність ме­то­ду фо­р­ма­лі­за­ції? Що озна­чає фо­р­ма­лі­за­ція в ши­ро­ко­му зна­чен­ні і фо­р­ма­лі­за­ція у ву­зь­ко­му зна­чен­ні?

40. Чо­му се­ре­ди­ну — кі­нець 19 ст. і по­ча­ток 20 ст. вва­жа­ють по­ча­т­ком но­во­го ета­пу роз­ви­т­ку ло­гі­ч­них знань?

41. Як спів­від­но­сять­ся між со­бою по­нят­тя: „формальна ло­гі­ка”, „тра­ди­цій­на ло­гі­ка”, „су­ча­с­на ло­гі­ка”, „кла­си­ч­на ло­гі­ка”, „си­м­во­лі­ч­на ло­гі­ка”, „ма­те­ма­ти­ч­на ло­гі­ка”, „не­к­ла­си­ч­на ло­гі­ка”?

42. Коротко оха­ра­к­те­ри­зуй­те зв'я­з­ки ло­гі­ки з ін­ши­ми на­у­ка­ми (на­при­клад, з лі­н­г­ві­с­ти­кою, фі­ло­со­фі­єю, ма­те­ма­ти­кою, пси­хо­ло­гі­єю, пра­вом, со­ці­о­ло­гі­єю).

ТЕМА 2

Семінар 3 (2 год.)

1. Сфо­р­му­люй­те сут­тє­ві ха­ра­к­те­ри­с­ти­ки ло­гі­ки вис­ло­в­лю­вань.

2. Що та­ке „дескри­п­ти­в­не ви­сло­в­лю­ван­ня”? Оха­ра­к­те­ри­зуй­те по­нят­тя „ре­чен­ня”, „су­джен­ня” і „ви­с­ло­в­лю­ван­ня”. Чи мо­жуть рі­з­ні ре­чен­ня ви­ра­жа­ти од­не су­джен­ня і, на­впа­ки, чи мо­ж­на ви­ра­жа­ти рі­з­ні су­джен­ня за до­по­мо­гою од­но­го ре­чен­ня? На­ве­діть від­по­ві­д­ні при­кла­ди.

3. Що скла­дає зна­чен­ня і смисл ви­сло­в­лю­ван­ня?

4. У чо­му по­ля­гає сут­ність прин­ци­пу дво­зна­ч­но­с­ті?

5. У чо­му по­ля­гає від­мін­ність між про­с­ти­ми і скла­д­ни­ми ви­сло­в­лю­ван­ня­ми? На­ве­діть відповідні при­кла­ди.

6. Які ви­сло­в­лю­ван­ня вва­жа­ють аб­су­р­д­ни­ми? На­ве­діть при­кла­ди аб­су­р­д­них ви­сло­в­лю­вань.

7. Про­ко­ме­н­туй­те текст:

„— Ду­же ва­ж­ли­вий фа­ку­ль­тет Сми­с­ло­за­не­па­ду або Не­мо­ж­ли­во­с­тей. На­при­клад, Ци­ган­сь­ке мі­с­то­в­по­ря­д­ку­ван­ня або Ац­тек­сь­кі хі­п­пі. [...] Го­ло­вне в ко­ж­ній ди­с­ци­п­лі­ні — це ро­зу­мін­ня ко­ре­нів її без­глу­з­до­с­ті, а у ви­па­д­ку Сми­с­ло­за­не­па­ду — ці­л­ко­ви­тої не­мо­ж­ли­во­с­ті. Як при­клад мо­ж­на на­ве­с­ти по­діл на мор­фе­ми зна­ків аз­бу­ки Мо­р­зе, іс­то­рію сіль­сь­ко­го го­с­по­дар­с­т­ва в Ан­та­р­к­ти­ді, іс­то­рію жи­во­пи­су на ос­т­ро­ві Па­с­хи, су­час­ну шу­мер­сь­ку лі­те­ра­ту­ру, ас­си­ро-­ва­ви­лон­сь­ку фі­ла­те­лію, вве­ден­ня по­слу­ху в си­с­те­му Мо­н­тес­со­рі, тех­но­ло­гію ви­го­то­в­лен­ня ко­ліс в ім­пе­рі­ях до­ко­лу­м­бо­во­го пе­рі­оду, ство­рен­ня об­ра­зів в аз­бу­ці Брай­ля, фо­не­ти­ку ні­мих фі­ль­мів...

— А що ви ска­же­те про пси­хо­ло­гію по­ве­ді­н­ки на­тов­пу в пу­с­те­лі Са­ха­ра? [...]

— Так що ж ми роз­мі­с­ти­ли у роз­ді­лі Сми­с­ло­вих Су­пе­ре­ч­но­с­тей, який я ні­як не мо­жу знай­ти? [...]

— У роз­ді­лі Сми­с­ло­вих Су­пе­ре­ч­но­с­тей, як за­сві­д­чує са­ма йо­го на­зва, ми роз­мі­с­ти­ли ви­вчен­ня пред­ме­тів із вза­є­мо­-ви­к­лю­ча­ю­чим сми­с­лом. То­му я вва­жаю, що „Мі­с­то­в­по­ря­д­ку­ван­ня у ци­ган” тре­ба бу­ло б вклю­чи­ти са­ме сю­ди...

– Ні, — за­пе­ре­чив Бе­ль­бо, — ли­ше в то­му ви­па­д­ку, ко­ли б іш­ло­ся про мі­с­то­в­по­ря­ду­ван­ня у ко­чі­в­них на­ро­дів. Сми­с­ло­за­не­пад до­слі­джує те­о­ре­ти­ч­ну не­мо­ж­ли­вість, а Сми­с­ло­ві Су­пе­ре­ч­но­с­ті — не­мо­ж­ли­вість, на­яв­ну в са­мих те­р­мі­нах.

— По­ди­ви­мо­ся. Що ми вне­с­ли до Сми­с­ло­вих Су­пе­ре­ч­но­с­тей? Ага, ось: ре­во­лю­цій­не тво­рен­ня, ста­ти­ч­на ди­на­мі­ка, Ге­ра­к­лі­то­ва ста­ти­ка, спа­р­тан­сь­ка роз­ні­же­ність, за­кла­ди на­род­ної олі­га­р­хії, іс­то­рія не­від­тво­рю­ва­них тра­ди­цій, та­в­то­ло­гі­ч­на ді­а­ле­к­ти­ка.

Я від­чув не­об­хід­ність зро­би­ти і свій вне­сок:

— Чи мо­жу я за­про­по­ну­ва­ти Гра­ма­ти­ку по­ми­лок?

— Чу­до­во, чу­до­во! — ви­гу­к­ну­ли оби­д­ва і зро­би­ли від­по­ві­д­ний за­пис”

(Умбе­р­то Эко. Ма­я­т­ник Фу­ко. - К.: Фі­та, 1995. - С. 89-90).

8. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те стру­к­ту­ру і при­зна­чен­ня син­та­к­си­су ме­та­мо­ви і се­ма­н­ти­ки ме­та­мо­ви ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань.

9. Що вхо­дить до скла­ду ал­фа­ві­ту мови ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань?

10. Дай­те ви­зна­чен­ня фо­р­му­ли ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань. Чо­му ко­ре­к­т­ні­ше го­во­ри­ти про ви­зна­чен­ня схем фо­р­мул ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань?

11. Чо­му ви­зна­чен­ня фо­р­мул ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань є ефе­к­ти­в­ним?

12. Се­ред за­про­по­но­ва­но­го пе­ре­лі­ку за­зна­ч­те фо­р­му­ли ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань:

(а) р ~ q; (г) "х(Gx É Hх);

(б) р v ~ q; (д) 2 + 2 = 4;

(в) р₆ v ~ q₃ (е) p q É.

13. Опи­шіть про­це­ду­ру „пе­ре­к­ла­ду” мі­р­ку­вань при­ро­д­ної мо­ви на мо­ву ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань.

14. Ви­ра­зіть за до­по­мо­гою мо­ви ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань мі­р­ку­ван­ня при­ро­д­ної мо­ви:

(а) „А­на­то­лій за­ли­шить­ся і він або Юрій бу­дуть че­ка­ти”.

(б) „А­на­то­лій за­ли­шить­ся і бу­де че­ка­ти або Юрій бу­де че­ка­ти”.

(в) „Я­к­що в цьо­му ро­ці бу­де за­су­ха, то як­що бу­дуть ура­га­ни — ча­с­ти­на на­се­лен­ня ос­т­ро­ва емі­г­ру­є”.

(г) „Я­к­що уве­че­рі бу­де ту­ман, то Ми­ко­ла або за­ли­шить­ся вдо­ма, або бу­де зму­ше­ний ско­ри­с­та­ти­ся та­к­сі”.

(д) „Ні Пів­ніч, ні Пів­день не здо­бу­ли пе­ре­мо­ги в гро­ма­дян­сь­кій вій­ні”.

(е) „Я­к­що мі­с­тер Джонс ща­с­ли­вий, то мі­сіс Джонс не­ща­с­ли­ва, і як­що мі­с­тер Джонс не­ща­с­ли­вий, то мі­сіс Джонс ща­с­ли­ва”.

(є) „Я­к­що „Спа­р­так” або „Ба­ва­рі­я” про­гра­ють, а „Ди­на­мо” ви­грає, то „Па­рі Сен Же­р­мен” втра­тить пе­р­ше мі­с­це і, крім то­го, Ан­д­рій про­грає па­рі”.

(ж) „Пше­ни­ця збе­ре­жеть­ся то­ді і тіль­ки то­ді, ко­ли мі­не­ра­ль­ні до­б­ри­ва бу­дуть ро­зу­м­но ви­ко­ри­с­та­ні; як­що пше­ни­ця не збе­ре­жеть­ся, то фе­р­ме­ри зба­н­к­ру­ту­ють і за­ли­шать свої фе­р­ми”.

(з) „Я­к­що я зби­ра­ю­ся по­ма­н­д­ру­ва­ти в Ка­р­па­ти то­ді і тіль­ки то­ді, ко­ли скла­ду всі іс­пи­ти, то. як­що я не скла­ду всі іс­пи­ти, то за­ли­шу­ся у Ки­є­ві”.

(и) „Я­к­що Джонс за­хво­ріє або Сміт бу­де у від­ря­джен­ні, то уго­да не бу­де під­пи­са­на, а ди­ре­к­то­ри не зу­стрі­нуть­ся і не ви­зна­чать при­бу­ток, як­що Ро­бі­н­сон не сха­ме­неть­ся і не ві­зь­ме спра­ву під ко­нт­роль”.

15. Здій­с­ніть „пе­ре­к­лад” (яко­мо­га бли­ж­че до по­всяк­ден­но­го вжи­ван­ня) на укра­ї­н­сь­ку мо­ву:

(а) „ ~ (по­тяг ви­ру­шив із за­пі­з­нен­ням & ~ по­тяг при­був із за­пі­з­нен­ням)”.

(б) „ ~ по­тяг ви­ру­шив із за­пі­з­нен­ням & ~ по­тяг при­був із за­пі­з­нен­ням”.

(в) „ ~ по­тяг ча­с­то при­бу­ває із за­пі­з­нен­ням”.

(г) „ ~ бі­ль­шість по­тя­гів при­бу­ває із за­пі­з­нен­ням”.

16. Здій­с­ніть пе­ре­к­лад на при­ро­д­ну мо­ву за­зна­че­них фо­р­мул, за умо­ви, що: с – „сьо­го­д­ні яс­но”; r – „сьо­го­д­ні йде дощ”; s – „сьо­го­д­ні йде сніг”; у – „вчо­ра бу­ло хма­р­но”.

(a) с É ~ (r & s).

(б) у « с.

(в) y & (c v ~ r).

(г) (y É r) v c.

(д) с É (~ (r & s) v y).

(e) (c « r) & (~ c v y).

17. Ви­ра­зіть за до­по­мо­гою мо­ви ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань за­зна­че­ні ре­чен­ня при­ро­д­ної мо­ви, за умо­ви, що: р – „ме­та по­ка­ран­ня - за­ля­ку­ван­ня”; q – „сме­р­т­на ка­ра - ефе­к­ти­в­ний за­сіб за­ля­ку­ван­ня”; r – „сме­р­т­на ка­ра по­ви­нна іс­ну­ва­ти”; s – „сме­р­т­на ка­ра іс­нує в багатьох країнах”; t – „ме­та по­ка­ран­ня - по­мста”.

(а) „Я­к­що ме­тою по­ка­ран­ня є за­ля­ку­ван­ня, а сме­р­т­на ка­ра є ефе­к­ти­в­ним за­со­бом за­ля­ку­ван­ня, то сме­р­т­на ка­ра по­ви­нна іс­ну­ва­ти”.

(б) „Сме­р­т­на ка­ра не є ефе­к­ти­в­ним за­со­бом за­ля­ку­ван­ня, хо­ча во­на іс­нує в багатьох країнах”.

(в) „Сме­р­т­на ка­ра не по­ви­нна іс­ну­ва­ти, як­що во­на не є ефе­к­ти­в­ним за­со­бом за­ля­ку­ван­ня, за умо­ви, що за­ля­ку­ван­ня не с ме­тою по­ка­ран­ня”.

(г) „Я­к­що по­мста, але не за­ля­ку­ван­ня, є ме­тою по­ка­ран­ня, то сме­р­т­на ка­ра не по­ви­нна іс­ну­ва­ти”.

(д) „Сме­р­т­на ка­ра по­ви­нна іс­ну­ва­ти, не­зва­жа­ю­чи на­віть на те, що во­на не є ефе­к­ти­в­ним за­со­бом за­ля­ку­ван­ня, за умо­ви, що ме­тою по­ка­ран­ня є по­мста ра­зом із за­ля­ку­ван­ням”.

18. Яким чи­ном вста­но­в­лю­ють зна­чен­ня іс­тин­но­с­ті скла­д­но­го ви­сло­в­лю­ван­ня?

19. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те ко­жен ло­гі­ч­ний спо­лу­ч­ник. По­бу­дуй­те від­по­ві­д­ні таб­ли­ці іс­тин­но­с­ті. Спробуйте вста­но­вити кі­ль­кість мо­ж­ли­вих про­по­зи­цій­них спо­лу­ч­ни­ків для двох ар­гу­ме­н­тів (дво­зна­ч­них фу­н­к­цій іс­тин­но­с­ті).

20. Порівняйте ло­гі­ч­ні і гра­ма­ти­ч­ні спо­лу­ч­ни­ки.

21. Наведіть приклади граматичних сполучників, що не є сентенційними. Наведіть приклади сентенційних граматичних сполучників, що не є істинно-функціональними. Чи будуть запропоновані сентенційні випадки граматичних сполучників істиннісно-функціональними? Відповідь обгрунтуйте.

(а) „Випадково, що …”.

(б) „ … для того, щоб …”.

(в) „Ні …, ані …”.

22. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те ло­гі­ч­ні спо­лу­ч­ни­ки ме­то­дом ана­лі­ти­ч­них пра­вил.

23. У чо­му по­ля­гає від­мін­ність між стро­гою і не­стро­гою ди­з'ю­н­к­ці­єю? На­ве­діть від­по­ві­д­ні при­кла­ди. Ди­з'ю­н­к­ція р v q є іс­тин­ною; q — хи­б­не. Яким є зна­чен­ня іс­тин­но­с­ті р? Чи за­ле­жить від­по­відь на це за­пи­тан­ня від ха­ра­к­те­ру стро­го­с­ті ди­з'ю­н­к­ції?

24. У чо­му по­ля­гає від­мін­ність між до­ста­т­ньою, не­об­хід­ною, до­ста­т­ньою і не­об­хід­ною умо­вою? Від­по­відь про­ілю­с­т­руй­те при­кла­да­ми.

25. Не­хай (p É q) & (r « р) є іс­тин­ною фо­р­му­ло­ю. Чи бу­де (за ці­єї умо­ви) іс­тин­ним, що:

(а) р є не­об­хід­ною умо­вою для q.

(б) р є не­об­хід­ною умо­вою для r.

(в) р є до­ста­т­ньою умо­вою для r.

(г) р є до­ста­т­ньою умо­вою для q.

(д) r є до­ста­т­ньою умо­вою для q.

26. У за­зна­че­них тве­р­джен­нях вста­но­віть не­об­хід­ні, до­ста­т­ні, не­об­хід­ні і до­ста­т­ні умо­ви. Си­м­во­лі­ч­но ви­ра­зіть ло­гі­ч­ні фо­р­ми тве­р­джень, ко­ри­с­ту­ю­чись від­по­ві­д­ни­ми пропозиційними змінними: р, q і r.

(а) „Я­к­що Сер­гій ви­грав зма­ган­ня на ма­ра­фон­сь­кій ди­с­та­н­ції (р), то він офі­цій­но за­ве­р­шив за­біг на цій ди­с­та­н­ції (q)”.

(б) „Я­к­що Сер­гій (і тіль­ки він) за­ве­р­шив за­біг на ма­ра­фон­сь­кій ди­с­та­н­ції зі сві­то­вим ре­ко­р­дом (r), то Сер­гій ви­грав зма­ган­ня на цій ди­с­та­н­ції (p)”.

(в) „О­с­тап — чо­ло­вік Ган­ни (p), як­що Ган­на — дру­жи­на Ос­та­па (q)”.

27. Ви­ра­зіть за до­по­мо­гою мо­ви ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань за­зна­че­ні ре­чен­ня при­ро­д­ної мо­ви, за умо­ви, що: р – „Ми­ко­ла тан­цю­є”; q – „О­к­са­на тан­цю­є”;

r – „А­н­д­рій тан­цю­є”; s – „Ми­ко­ла ща­с­ли­вий”; t – „О­к­са­на ща­с­ли­ва”; u – „А­н­д­рій щас­ли­вий”.

(а) „Ми­ко­ла тан­цює, але Ок­са­на не тан­цю­є”.

(б) „Я­к­що Ми­ко­ла не тан­цює, то­ді Ок­са­на не бу­де ща­с­ли­во­ю”.

(в) „Те, що Ми­ко­ла тан­цює до­ста­т­ньо для то­го, щоб Ок­са­на бу­ла ща­с­ли­во­ю”.

(г) „Те, шо Ми­ко­ла тан­цює є не­об­хід­ним для то­го, щоб Ок­са­на бу­ла ща­с­ли­вою”.

(д) „Ми­ко­ла не бу­де тан­цю­ва­ти, як­що Ок­са­на не­ща­с­ли­ва”.

(е) „Я­к­що те, що Ми­ко­ла тан­цює є не­об­хід­ним для то­го, щоб Ок­са­на бу­ла ща­с­ли­вою, то­ді Ан­д­рій бу­де не­ща­с­ли­вим”.

(є) „Я­к­що Ок­са­на тан­цює, хо­ча Ми­ко­ла не­ща­с­ли­вий, Ан­д­рій тан­цю­ва­ти­ме”.

(ж) „Я­к­що ні Ми­ко­ла, ні Ан­д­рій не тан­цю­ють, Ок­са­на не­ща­с­ли­ва”.

(з) „О­к­са­на не­ща­с­ли­ва то­ді, ко­ли Ми­ко­ла або Ан­д­рій не тан­цю­ють”.

(и) „О­к­са­на бу­де ща­с­ли­вою, як­що Ми­ко­ла і Ан­д­рій тан­цю­ють”.

(і) „Хо­ча ні Ми­ко­ла, ні Ан­д­рій не тан­цю­ють, Ок­са­на ща­с­ли­ва”.

(ї) „Я­к­що Ан­д­рій тан­цює, то­ді, як­що Ок­са­на тан­цює, то Ми­ко­ла бу­де тан­цю­ва­ти та­кож”.

(й) „О­к­са­на бу­де ща­с­ли­вою, тіль­ки як­що Ан­д­рій ща­с­ли­вий”.

(к) „Ні Ми­ко­ла, ні Ан­д­рій не бу­дуть тан­цю­ва­ти, як­що Ок­са­на не­ща­с­ли­ва”.

(л) „Я­к­що Ок­са­на тан­цює тіль­ки то­ді, ко­ли Ан­д­рій тан­цює, і Ми­ко­ла тан­цює тіль­ки то­ді, ко­ли Ок­сана тан­цює, то Ми­ко­ла тан­цює ли­ше то­ді, ко­ли Ан­д­рій тан­цю­є”.

(м) „О­к­са­на бу­де тан­цю­ва­ти, як­що Ми­ко­ла або Ан­д­рій (але не оби­д­ва ра­зом) тан­цю­ють”.

(н) „Я­к­що Ми­ко­ла тан­цює і Ок­са­на та­кож тан­цює, але Ан­д­рій не тан­цює, то­ді Ок­са­на не бу­де ща­с­ли­вою, але Ми­ко­ла і Ан­д­рій бу­дуть ща­с­ли­ви­ми”.

(о) „О­к­са­на бу­де ща­с­ли­вою, як­що і тіль­ки як­що Ми­ко­ла ща­с­ли­вий”.

(п) „За умо­ви, що Ан­д­рій не­ща­с­ли­вий, Ми­ко­ла не бу­де тан­цю­ва­ти, як­що Ок­са­на не тан­цю­є”.

(р) „Я­к­що Ми­ко­ла тан­цює за умо­ви, що ко­ли він тан­цює, то і Ок­са­на тан­цює, то він тан­цю­є”.

28. Припустимо, що фо­р­му­ла р « q є хи­б­ною. Вста­но­віть зна­чен­ня іс­тин­но­с­ті фо­р­мул:

(а) р « ~ q.

(б) ~ р « ~ q.

29. Припустимо, що фо­р­му­ла р « q є іс­тин­ною. Вста­но­віть зна­чен­ня іс­тин­но­с­ті фо­р­мул:

(а) ~ р « q.

(б) ~ р « ~ q.

30. Припустимо, що фо­р­му­ла p É q є іс­тин­ною, а р « q є хи­б­ною. Вста­но­віть зна­чен­ня іс­тин­но­с­ті фор­му­ли q É p.

31. Вста­но­віть зна­чен­ня іс­тин­но­с­ті р, q, r, s у на­ве­де­них ви­ра­зах, як­що ві­до­мо, що пе­р­ший і дру­гий ви­ра­зи є іс­тин­ни­ми, а тре­тій і че­т­ве­р­тий ви­ра­зи — хи­б­ні:

(а) „Я­к­що 10 — па­р­не чи­с­ло, то p”.

(б) „Я­к­що q, то 10 — не­па­р­не чи­с­ло”.

(в) „Я­к­що 10 — па­р­не чи­с­ло, то r”.

(г) „Я­к­що s, то 10 — не­па­р­не чи­с­ло”.

32. Чи мо­ж­на од­но­зна­ч­но вста­но­ви­ти зна­чен­ня іс­тин­но­с­ті фо­р­му­ли

~ (р v q) « (~ р & ~q), як­що ві­до­мо, що фо­р­му­ла р v q є іс­тин­но­ю.

Відпо­відь об­гру­н­туй­те.

33. За якою озна­кою у про­по­зи­цій­ній ло­гі­ці ви­ді­ля­ють ло­гі­ч­ні за­ко­ни, ло­гі­ч­ні су­пе­ре­ч­но­с­ті, ней­т­ра­ль­ні фо­р­му­ли.

34. За до­по­мо­гою яких ме­то­дів мо­ж­на вста­но­в­лю­ва­ти вид фо­р­му­ли? В чо­му по­ля­гає сут­ність ме­то­ду таб­лиць іс­тин­но­с­ті?

35. За до­по­мо­гою таб­лиць іс­тин­но­с­ті вста­но­віть зна­чен­ня іс­тин­но­с­ті фо­р­мул:

(a) p É q;

(б) ~ р É q;

(в) ~ (р É ~ q);

(г) (р É q) É р;

(д) р É (р v q);

(е) ~ (~ р v р);

(є) ~ q Ú ~ ~ (~ р « q);

(ж) ~ (~ р É (р É q));

(з) ~ (р & q) É ((q « р) v q);

(u) (р & (q v r)) «((p & q) v (p & r)).

36. В яко­му із чо­ти­рьох ви­па­д­ків:

(а) Ці­ни зро­с­та­ють, ін­фля­ція зро­с­тає;

(б) Ці­ни не зро­с­та­ють, ін­фля­ція зро­с­тає;

(в) Ці­ни зро­с­та­ють, ін­фля­ція не зро­с­тає;

(г) Ці­ни не зро­с­та­ють, ін­фля­ція не зро­с­тає;

тве­р­джен­ня „Ці­ни не зро­с­та­ють або ін­фля­ція не зро­с­та­є” бу­де іс­тин­ним? Дай­те від­по­відь, вра­хо­ву­ю­чи мо­ж­ли­вість тлу­ма­чен­ня спо­лу­ч­ни­ка „а­бо” в стро­го роз­ді­ло­во­му і в не­стро­го роз­ді­ло­во­му зна­чен­нях. В яких ви­па­д­ках (се­ред чо­ти­рьох за­зна­че­них) зна­чен­ня іс­тин­но­с­ті тве­р­джен­ня „Ці­ни не зро­с­та­ють або ін­фля­ція не зро­с­та­є” не бу­де за­ле­жа­ти від стро­го­с­ті спо­лу­ч­ни­ка “а­бо”?

37. На­ве­діть при­кла­ди:

(а) іс­тин­ної ім­плі­ка­ції з іс­тин­ним за­сно­в­ком;

(б) іс­тин­ної ім­плі­ка­ції з хи­б­ним ви­сно­в­ком;

(в) хи­б­ної ім­плі­ка­ції з хи­б­ним за­сно­в­ком;

(г) хи­б­ної ім­плі­ка­ції з іс­тин­ним ви­сно­в­ком;

(д) хи­б­ної ім­плі­ка­ції з хи­б­ним ви­сно­в­ком.

38. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те па­ра­до­к­си ма­те­рі­а­ль­ної ім­плі­ка­ці­ї.

39. Про­ко­ме­н­туй­те ді­а­лог:

Ло­гік: От­же, з хи­б­но­го тве­р­джен­ня ви­пли­ває все що за­вгод­но.

Сту­дент: Бо­юсь, що я не зба­г­нув цьо­го.

Ло­гік: Це дій­с­но ду­же про­с­то. Ти впе­в­не­ний, що ні­чо­го не ро­зу­мі­єш?

Сту­дент: Все, в чо­му я впе­в­не­ний: як­що я ро­зу­мію це, то­ді я — ма­в­пя­чий ко­роль.

Ло­гік: У цьо­му ти пра­вий. (Смі­єть­ся)

Сту­дент: Чо­му Ви смі­є­те­ся?

Ло­гік: Бо ти все ж та­ки не ро­зу­мі­єш.

40. Спро­буй­те про­ко­ме­н­ту­ва­ти та­кий ви­па­док: „О­д­но­го ра­зу Бе­р­т­ран Ра­с­сел, об­го­во­рю­ю­чи про­бле­му умо­в­них ви­сло­в­лю­вань, за­зна­чив, що з хи­б­но­го ви­сло­в­лю­ван­ня ви­пли­ває все, що за­вгод­но. Спів­роз­мо­в­ник-­ске­п­тик за­пи­тав Рас­села: „Ви ма­є­те на ува­зі те, що як­що 2 + 2 = 5, то то­ді Ви - Па­па Рим­сь­кий?” Ра­с­сел від­по­вів стве­р­д­но і до сво­єї від­по­ві­ді до­лу­чив та­ке „до­ве­ден­ня”: При­пу­с­ти­мо, що 2 + 2 = 5. То­ді оче­ви­д­но, що від­ня­в­ши 2 від ко­ж­ної сто­ро­ни рі­в­нян­ня отри­ма­є­мо 2 = 3. По­мі­ня­є­мо мі­с­ця­ми 3 і 2. Від ко­ж­ної сто­ро­ни рі­в­нян­ня зно­ву від­ні­ме­мо 1. Отри­ма­є­мо но­ве рі­в­нян­ня: 2 = 1. От­же, як­що Па­па Рим­сь­кий і я - це двоє лю­дей і 2 = 1, то Па­па Рим­сь­кий і я є од­ним. От­же, я - Па­па Рим­сь­кий”.

41. Вста­но­віть зна­чен­ня іс­тин­но­с­ті тве­р­джен­ня „Я­к­що сьо­го­дні се­ре­да, то за­в­т­ра бу­де су­бо­та” для ко­ж­но­го дня ти­ж­ня. Чи знай­деть­ся та­кий день ти­ж­ня, ко­ли: (а) тве­р­джен­ня „Я­к­що сьо­го­дні по­не­ді­лок, то за­в­т­ра бу­де че­т­вер” бу­ло б іс­тин­ним?; (б) тве­р­джен­ня „Я­к­що сьо­го­дні по­не­ді­лок, то за­в­т­ра бу­де ві­в­то­рок” бу­ло б іс­тин­ним?; (в) тве­р­джен­ня „Я­к­що сьо­го­дні по­не­ді­лок, то за­в­т­ра бу­де се­ре­да” бу­ло б хи­б­ним?

42. Вста­но­віть вид фо­р­му­л:

(а) ~ (~ p v p) & q.

(б) p É (~ p É q).

(в) ~ ((p É q) & (q É ~ p)) É ~ p.

(г) ((p v q v r) & (~ p & ~ q)) É r.

(д) (( ~ q É ~ p) & (q É (p & r))) É (p É r).

43. При­пу­с­ти­мо, що p — іс­тин­не, q — хи­б­не, r — хи­б­не. Не бу­ду­ю­чи по­вних таб­лиць іс­тин­но­с­ті, вста­но­віть (як­що це мо­ж­ли­во) зна­чен­ня іс­тин­но­с­ті фо­р­мул:

(а) (p v q) & r.

(б) p & (q v r).

(в) r É (p v s).

(г) p É (r É s).

(д) p É (r É s ).

(е) (p v r) «(q & s).

(є) p « (q É (r v s)).

(ж) (p & q) É (r « s).

(з) (p « ~q) v r v (s É m).

(и) (p & q) É (r É (s v m)).

44. Ві­до­мо, що р - іс­тин­не, q - хи­б­не, r - іс­тин­не, s - хи­б­не. На під­ста­ві ли­ше ці­єї ін­фо­р­ма­ції (не бу­ду­ю­чи по­вних таб­лиць іс­тин­но­с­ті) вста­но­віть (як­що це мо­ж­ли­во) зна­чен­ня іс­тин­но­с­ті фо­р­мул:

(а) ~ ((р v q) É (q v r)) É (r É р).

(6) (р É ~ q) & (r É s).

(в) ~ [p v (((q É r) & (r É ~ p)) & (~ p É (q & r)))].

(г) ((p & r) v (q & s)) É ~ ((p & s) v (q & r)).

Для ко­ж­ної з фо­р­мул, які (за да­них умов) на­бу­ва­ють зна­чен­ня „і­с­ти­на”, вста­но­віть, чи є во­ни ло­гі­ч­ни­ми за­ко­на­ми. Для ко­ж­ної з фо­р­мул, які (за да­них умов) на­бу­ва­ють зна­чен­ня „хи­бність”, вста­но­віть, чи є во­ни ло­гі­ч­ни­ми су­пе­ре­ч­но­с­тя­ми.

Семінар 4 (2 год.)

45. Яким чи­ном мо­ж­на ви­ко­ри­с­та­ти ме­тод ча­с­т­ко­вих (не­по­в­них) таб­лиць іс­тин­но­с­ті (ме­тод контр­п­ри­к­ла­ду) для вста­но­в­лен­ня то­го, чи є де­яка фо­р­му­ла (а) ло­гі­ч­ним за­ко­ном; (б) ло­гі­ч­ною су­пе­ре­ч­ні­с­тю; (в) ней­т­ра­ль­ною форму­лою?

46. Ви­ко­ри­с­то­ву­ю­чи ме­тод ча­с­т­ко­вих таб­лиць iс­тин­но­с­ті (ме­тод контр­п­ри­к­ла­ду), вста­но­віть, чи є фо­р­му­ли (а) - (г) та­в­то­ло­гі­я­ми; чи є фо­р­му­ла (д) ло­гі­ч­ною су­пе­ре­ч­ні­с­тю?

(а) (р « q) É ((r & p) « (q & r)).

(6) ~ q É (p «(~ p & q)).

(в) ((р v q) É r) É ((p É г) & (q É r)).

(г) (q « (~p v q)) É (p & ~q).

(д) ~ (p É q) & ~ (p É ~q).

47. Яку мно­жи­ну про­по­зи­цій­них спо­лу­ч­ни­ків вва­жа­ють аде­к­ва­т­ною (функціонально завершеною)?

48. З якою ме­тою ви­ко­ри­с­то­ву­ють ме­тод ана­лі­ти­ч­них таб­лиць? Які те­о­ре­ти­ч­ні і тех­ні­ч­ні при­пу­щен­ня зу­мо­в­лю­ють пра­во­мі­р­ність ме­то­ду ана­лі­ти­ч­них таб­лиць?

49. Ви­рі­шіть впра­ву (42) за до­по­мо­гою ме­то­ду ана­лі­ти­ч­них таб­лиць.

50. Які іс­ну­ють від­но­шен­ня між фо­р­му­ла­ми ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань?

51. У чо­му по­ля­гає сут­ність від­но­шен­ня ло­гі­ч­но­го слі­ду­ван­ня? Чо­му від­но­шен­ня ло­гі­ч­но­го слі­ду­ван­ня вва­жа­ють у ло­гі­ці фу­н­да­ме­н­та­ль­ним?

52. Сфо­р­му­люй­те про­бле­му роз­в'я­зу­ва­но­с­ті.

53. Чи ви­пли­ває (логічно слідує) ви­сло­в­лю­ван­ня (а) із ви­сло­в­лю­ван­ня (б) (і на­впа­ки)?

(а) „Ко­м­па­нія вин­на, як­що і тіль­ки як­що лі­ки бу­ли ас­пі­ри­ном і термін їх дії за­кін­чи­в­ся у сі­ч­ні”.

(б) „Я­к­що лі­ки бу­ли ас­пі­ри­ном, то­ді термін їх дії за­кін­чи­в­ся у сі­ч­ні і ком­па­нія вин­на; але як­що лі­ки не бу­ли ас­пі­ри­ном, то термін їх дії не за­кін­чи­в­ся у сі­ч­ні i ком­па­нія не вин­на”.

54. Чи іс­нує між па­ра­ми за­зна­че­них фо­р­мул від­но­шен­ня ло­гі­ч­но­го слі­ду­ван­ня? Дай­те від­по­відь за до­по­мо­гою ме­то­ду таб­лиць іс­тин­но­с­ті, ме­то­ду по­бу­до­ви контр­п­ри­к­ла­ду і ме­то­ду ана­лі­ти­ч­них таб­лиць.

(а) (p v q) & ~ p і q.

(б) p É (q v s) і (~ q v ~ s) É ~ p.

55. Вста­но­віть, чи бу­дуть на­ве­де­ні мі­р­ку­ван­ня пра­ви­ль­ни­ми. Ви­ко­ри­с­тай­те рі­з­ні ме­то­ди ви­рі­шен­ня.

(а) „Я пі­ду до­до­му або за­ли­шу­ся тут і ви­п'ю ка­ву. Я не пі­ду до­до­му. От­же, я за­ли­шу­ся тут і ви­п'ю ка­ву”.

(б) „Бо­рис або пе­ре­вто­м­ле­ний, або хво­рий. Як­що він пе­ре­вто­м­ле­ний, то він роз­дра­то­ва­ний. Він не роз­дра­то­ва­ний. От­же, він хво­рий”.

(в) „Я­к­що ці­ни ви­со­кі, то й за­ро­бі­т­на пла­та ви­со­ка. Ці­ни ви­со­кі або за­сто­со­ву­єть­ся ре­гу­лю­ван­ня цін. Як­що за­сто­со­ву­єть­ся ре­гу­лю­ван­ня цін, то ін­фля­ція від­су­т­ня. Ін­фля­ція на­яв­на. От­же, за­ро­бі­т­на пла­та ви­со­ка”.

(г) „Я­к­що Джонс уби­в­ця, то йо­му ві­до­мий час сме­р­ті Смі­та і чим він був уби­тий. От­же, як­що Джонс не знає, ко­ли Сміт по­мер або чим він був уби­тий, то Джонс - не вби­в­ця”.

(д) „Я­к­що я пі­ду за­в­т­ра на пе­р­шу ле­к­цію, то я бу­ду зму­ше­ний вста­ва­ти ра­но, а як­що я пі­ду уве­че­рі до те­а­т­ру, то ля­га­ти­му спа­ти пі­з­но. Як­що я ля­жу спа­ти пі­з­но, а вста­ну ра­но, то я зму­ше­ний бу­ду об­ме­жи­ти­ся п'я­ти­го­дин­ним сном. Я не в змо­зі об­ме­жи­ти­ся п'я­ти­го­дин­ним сном. От­же, я по­винен або про­пу­с­ти­ти за­в­т­ра пе­р­шу ле­к­цію, або не йти до те­а­т­ру”.

(е) „Я­к­що б не сві­ти­ло Со­н­це, то при­йш­ло­ся па­ли­ти сві­ч­ки і гас. Як­що б при­йш­ло­ся па­ли­ти сві­ч­ки і гас, то чи­но­в­ни­кам не ви­ста­ча­ло пла­т­ні і, от­же, во­ни бу­ли б зму­ше­ні бра­ти ха­ба­рі. От­же, чинов­ни­ки не бе­руть ха­ба­рі то­му, що сві­тить Со­н­це”.

(є) Ко­лись ха­ліф Омар за­мі­ри­в­ся спа­ли­ти Оле­к­сан­дрій­сь­ку бі­б­лі­о­те­ку. Пра­во­мі­р­ність сво­го на­мі­ру він об­ґру­н­то­ву­вав так: „Я­к­що зміст книг бі­б­лі­о­те­ки уз­го­джу­єть­ся з Ко­ра­ном, то во­ни зай­ві. Якщо ж зміст книг не уз­го­джу­єть­ся з Ко­ра­ном, то во­ни шкі­д­ли­ві. Зай­ві або шкі­д­ли­ві кни­ги не­обхід­но зни­щу­ва­ти. От­же, кни­ги Оле­к­са­н­д­рій­сь­кої бі­б­лі­о­те­ки не­об­хід­но зни­щи­ти”.

(ж) „Я­к­що я по­їду на ав­то­бу­сі і ав­то­бус за­пі­з­нить­ся, то я про­пу­щу ле­к­цію з ло­гі­ки. Як­що я про­пу­щу ле­к­цію з ло­гі­ки і по­чну су­му­ва­ти, то ме­ні не ва­р­то їха­ти до­до­му. Як­що я не скла­ду се­сію, то я по­чну су­му­ва­ти і ме­ні ва­р­то по­їха­ти до­до­му. От­же, як­що я по­їду на ав­то­бу­сі і ав­то­бус за­пі­знить­ся, то я скла­ду се­сі­ю”.

(з) „За­р­п­ла­та зро­с­те ли­ше то­ді, ко­ли бу­де ін­фля­ці­я. Як­що бу­де ін­фля­ція, то по­до­ро­ж­ча­ють про­ду­кти ха­р­чу­ван­ня. За­ро­бі­т­на пла­та зро­с­те. От­же, про­ду­к­ти ха­р­чу­ван­ня по­до­ро­ж­ча­ють”.

(и) „Я­к­що Сем жи­ве в Ма­н­хе­те­ні, то він не має ма­ши­ни. Сем ма­ши­ну ма­є. От­же, Сем не жи­ве в Ма­хе­те­ні”.

(і) „Я­к­що ре­зуль­тат пе­ре­го­нів бу­де ви­зна­че­ний на­пе­ред або в гра­ль­них бу­ди­н­ках бу­дуть ору­ду­ва­ти ша­х­раї, то при­бу­т­ки від ту­ри­з­му впа­дуть і мі­с­то по­ст­ра­ж­да­є. Як­що при­бу­т­ки від ту­ри­з­му впадуть, по­лі­ція бу­де за­до­во­ле­но­ю. По­лі­ція ні­ко­ли не бу­ває за­до­во­ле­но­ю. От­же, ре­зуль­тат пе­ре­гонів не є ви­зна­че­ним на­пе­ред”.

(ї) „Я­к­що фе­де­ра­ль­ні ви­тра­ти збі­ль­шу­ють­ся, а по­да­т­ки не зро­с­та­ють, то­ді бу­де ін­фля­ці­я. Як­що на­яв­на ін­фля­ція, то ба­га­то кон­гре­с­ме­нів про­гра­ють на на­сту­п­них ви­бо­рах. От­же, як­що по­да­т­ки зро­с­та­ють, не­ба­га­то кон­гре­с­ме­нів про­гра­ють на на­сту­п­них ви­бо­рах”.

(й) „Я­к­що ге­не­ра­ль­ний про­ку­рор — зло­чи­нець, то­ді, як­що на­ча­ль­ник по­што­вої слу­ж­би — роз­крадач, то пре­зи­дент — те­ле­пень'. От­же, як­що на­ча­ль­ник по­што­вої слу­ж­би — роз­кра­дач, а пре­зидент — не те­ле­пень, то­ді ге­не­ра­ль­ний про­ку­рор — не зло­чи­нець”.

(к) „Сьо­го­д­ні або су­бо­та, або не­ді­ля. Як­що сьо­го­дні не­ді­ля, то по­што­ві від­пра­в­лен­ня не над­хо­дять. То­му, як­що сьо­го­дні по­што­ві від­пра­в­лен­ня над­хо­дять, то сьо­го­дні — су­бо­та”.

(л) „Я­к­що Пе­т­ро по­їде до Ха­р­ко­ва, то Іван по­їде до Ки­є­ва. Пе­т­ро по­їде до Ха­р­ко­ва або до Льво­ва. Як­що Пе­т­ро по'і­де до Льво­ва, то Оль­га за­ли­шить­ся в Оде­сі. Але Оль­га в Оде­сі не за­ли­ши­ть­ся. От­же, Іван по­їде до Ки­є­ва”.

(м) „Я­к­що всі за­сно­в­ки іс­тин­ні і мі­р­ку­ван­ня є пра­ви­ль­ним, то ви­сно­вок — іс­тин­ний. У да­но­му мі­р­ку­ван­ні ви­сно­вок — хи­б­ний. От­же, в да­но­му мі­р­ку­ван­ні не всі за­сно­в­ки іс­тин­ні, або це мі­р­куван­ня — не­пра­ви­ль­не”.

(н) „Я­к­що курс ле­к­цій “Ло­гі­ка” є ці­ка­вим, то він - ко­ри­с­ний. Або за­зна­че­ний курс ле­к­цій не є ціка­вим, або ви­кла­дач ку­р­су „Ло­гі­ка” - по­бла­ж­ли­вий. Але ви­кла­дач цьо­го ку­р­су - не­по­б­ла­жли­вий. От­же, курс ле­к­цій „Ло­гі­ка” не є ко­ри­с­ним”.

(о) „Лю­ди­на не мо­г­ла б ус­пі­ш­но орі­є­н­ту­ва­тись і ді­я­ти в ото­чу­ю­чо­му се­ре­до­ви­щі, як­що б її від­чут­тя не да­ва­ли пра­ви­ль­но­го уяв­лен­ня про це се­ре­до­ви­ще. Але ві­до­мо, що лю­ди­на ус­пі­ш­но орі­є­н­туєть­ся і діє в ото­чу­ю­чо­му се­ре­до­ви­щі. От­же, від­чут­тя лю­ди­ни по­да­ють їй пра­ви­ль­не уяв­лен­ня про ото­чу­ю­че се­ре­до­ви­ще”.

(п) „Я­к­що бу­ду­ва­ти про­ти­ато­м­ні схо­ви­ща, то ін­ші дер­жа­ви по­чу­ва­ти­муть се­бе в не­без­пе­ці, а наш на­род ма­ти­ме хи­б­не уяв­лен­ня що­до сво­єї без­пе­ки. Як­що ін­ші дер­жа­ви по­чу­ва­ти­муть се­бе в не­без­пе­ці, то во­ни змо­жуть роз­по­ча­ти пре­ве­н­ти­в­ну вій­ну. Як­що наш на­род ма­ти­ме хи­б­не уявлен­ня що­до сво­єї без­пе­ки, то він по­сла­бить свої зу­сил­ля, ске­ро­ва­ні на збе­ре­жен­ня ми­ру. Як­що ж не бу­ду­ва­ти про­ти­ато­м­ні схо­ви­ща, то ми ри­зи­ку­є­мо ма­ти ве­ли­че­з­ні втра­ти у ви­па­д­ку вій­ни. От­же, або ін­ші кра­ї­ни змо­жуть роз­по­ча­ти пре­ве­н­ти­в­ну вій­ну і наш на­род по­сла­бить свої зусил­ля, ске­ро­ва­ні на збе­ре­жен­ня ми­ру, або ми ри­зи­ку­є­мо ма­ти ве­ли­че­з­ні втра­ти у ви­па­д­ку війни”.

(р) „Для то­го, аби бу­ти до­пу­ще­ним до іс­пи­тів, не­об­хід­но отри­ма­ти за­лік з ло­гі­ки. Я отри­маю цей за­лік, як­що на­вчу­ся пе­ре­ві­ря­ти мі­р­ку­ван­ня ме­то­дом ана­лі­ти­ч­них таб­лиць. Я не за­сво­їв цьо­го ме­то­ду. От­же, ме­не не до­пу­с­тять до іс­пи­тів”.

(с) „Для то­го, аби пе­ре­йти на на­сту­п­ний курс, до­ста­т­ньо скла­с­ти іс­пит з ло­гі­ки на „за­до­ві­ль­но”. Я скла­ду цей іс­пит на „за­до­ві­ль­но” ли­ше то­ді, ко­ли зро­зу­мію за­сто­су­ван­ня ме­то­ду ана­лі­ти­ч­них таб­лиць. Але я не в змо­зі зро­зу­мі­ти цей ме­тод. От­же, я все ж та­ки пе­ре­йду на на­сту­п­ний курс”.

(т) „Для то­го, аби скла­с­ти іс­пит, ме­ні не­об­хід­но ма­ти під­ру­ч­ник або кон­с­пект. Я ма­ти­му під­ру­чник ли­ше в то­му ви­па­д­ку, як­що мій при­ятель не по­їде до­до­му. Але він поїде до­до­му ли­ше тоді, ко­ли я ді­с­та­ну кон­с­пект. От­же, я скла­ду іс­пит”.

56. Три під­при­єм­ці (р, q і г) до­мо­ви­ли­сь про пе­в­ний по­ря­док укла­дан­ня угод. Як­що під­при­ємець р не укла­дає уго­ду, то під­при­ємець q та­кож її не укла­да­є. Як­що під­при­ємець p укла­дає уго­ду, то її та­кож укла­да­ють під­при­єм­ці q і r. Чи зо­бо­в'я­за­ний (на під­ста­ві за­зна­че­них до­мо­в­ле­но­с­тей) під­при­ємець r укла­да­ти уго­ду, як­що уго­ду укла­дає під­при­ємець q?

57. Що та­ке „ло­гі­ч­на рі­в­но­си­ль­ність”? Які ви­сло­в­лю­ван­ня вва­жа­ють рі­в­но­си­ль­ни­ми?

58. Для за­зна­че­них фо­р­мул знай­діть рі­в­но­си­ль­ні фо­р­му­ли, в яких бу­ли б від­су­т­ні­ми спо­лу­ч­ни­ки v, É, «, v :

(а) ~ (р « q).

(б) (р v q) v r.

(в) ~ ((р v q) É р).

59. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те де­кі­ль­ка за­ко­нів ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань, які фо­р­му­лю­ють на під­ста­ві від­но­шен­ня рі­в­но­си­льно­с­ті. До­ве­діть, що:

(а) р & р º р.

(б) р & (q v r) º (р & q) v (р & r).

(в) р v (q & г) º (р v q) & (р v r).

(г) р & q º ~ (р É q).

(д) ~ (р v q) º ~ р & ~ q.

(е) ~ (р & q) º ~ р v ~ q.

(є) р & q º ~ (~ p v ~ q).

60. За до­по­мо­гою ме­то­ду ана­лі­ти­ч­них таб­лиць об­гру­н­туй­те де­кі­ль­ка рі­в­но­си­ль­но­с­тей.

61. Чи є се­ред на­ве­де­них фо­р­мул рі­в­но­си­ль­ні?

(а) р É (q & r).

(б) р É (q v r).

(в) (p É q) & (p É r).

(г) (р É q) v (р É r).

(д) (р É q) & (q v r).

(е) (p & q )É r.

(є) р É (q É r).

(ж) (~ р v q) & (q v r).

62. Які ви­сло­в­лю­ван­ня на­зи­ва­ють су­мі­с­ни­ми? На­ве­діть при­кла­ди су­мі­с­них і не­су­мі­с­них (за іс­тин­ні­с­тю, за хи­б­ні­с­тю) ви­сло­в­лю­вань.

63. Чи бу­дуть су­мі­с­ни­ми фо­р­му­ли: а & b; b É c; a v с.

64. Ви­ко­ри­с­то­ву­ю­чи (а) ме­тод таб­лиць іс­тин­но­с­ті; (б) ме­тод ана­лі­ти­ч­них таб­лиць, (в) метод контрприкладу вста­но­віть, чи бу­дуть ви­сло­в­лю­ван­ня су­мі­с­ни­ми за іс­тин­ні­с­тю:

1.

(а) „Га­ли­на або Зоя пе­ре­да­ли ме­ні цю кни­гу ми­ну­ло­го ві­в­то­р­ка”.

(б) „Я­к­що цю кни­гу ме­ні да­ла Га­ли­на, то­ді у ві­в­то­рок опів­дні я був в уні­вер­си­те­ті”.

(в) „У­весь ві­в­то­рок я пе­ре­бу­вав да­ле­ко за ме­жа­ми уні­вер­си­те­ту і Зоя ні­ко­ли ні­чо­го ме­ні не пе­ре­да­вала”.

2.

(а) „При­най­м­ні хтось один - Ар­ві­дас чи Юлюс - жи­вуть у Клай­пе­ді”.

(б) „При­най­м­ні хтось один - Ар­ві­дас чи Юлюс - пра­цю­ють в уні­вер­си­те­ті”.

(в) „Ю­люс не пра­цює в уні­вер­си­те­ті і не жи­ве у Клай­пе­ді”.

3.

(а) „Мі­с­тер Ні­ко­л­сон - ро­сій­сь­кий шпи­гун”.

(б) „Мі­с­тер Ні­ко­л­сон не є од­но­ча­с­но шпи­гу­ном ЦРУ і ро­сій­сь­ким шпи­гу­ном”.

(в) „Мі­с­тер Ні­ко­л­сон - шпи­гун ЦРУ і до­те­п­на лю­ди­на”.

4.

(а) „Я­к­що ко­бальт, але не ні­кель, на­яв­ний, то з'яв­ля­єть­ся ко­ри­ч­не­вий ко­лір”.

(б) „Ні­кель і ма­г­ній від­су­т­ні”.

(в) „Ко­бальт на­яв­ний, але ли­ше зе­ле­ний ко­лір з'яв­ля­є­ть­ся”.

5.

(а) „Я­к­що курс цін­них па­пе­рів зро­с­тає або від­со­т­ко­ва ста­в­ка па­дає, то або па­дає курс ак­цій, або пода­т­ки не зро­с­та­ють”.

(б) „Курс ак­цій па­дає то­ді і тіль­ки то­ді, ко­ли курс цін­них па­пе­рів зро­с­тає, а та­кож зро­с­та­ють по­да­тки”.

(в) „Я­к­що від­со­т­ко­ва ста­в­ка па­дає, то або курс ак­цій не па­дає, або курс цін­них па­пе­рів не зро­с­та­є”.

(г) „А­бо зро­с­та­ють по­да­т­ки, або курс ак­цій па­дає і па­дає від­со­т­ко­ва ста­в­ка”.

6.

(а) „Я­к­що ве­чі­р­ка ну­д­на, то або Алі­са по­чи­нає пла­ка­ти, або Ана­толь роз­по­ві­дає ку­ме­д­ні іс­то­рі­ї”.

(б) „Я­к­що Си­ль­вестр при­су­т­ній на ве­чі­р­ці, то або ве­чі­р­ка ну­д­на, або Алі­са по­чи­нає пла­ка­ти”.

(в) „Я­к­що Ана­толь роз­по­ві­дає ку­ме­д­ні іс­то­рії, Алі­са не по­чи­нає пла­ка­ти”.

(г) „Си­ль­вестр при­су­т­ній на ве­чі­р­ці то­ді і ли­ше то­ді, ко­ли Ана­толь не роз­по­ві­дає ку­ме­д­ні іс­то­рі­ї”.

(д) „Я­к­що Алі­са по­чи­нає пла­ка­ти, то Ана­толь роз­по­ві­дає ку­ме­д­ні іс­то­рі­ї”.

65. Чи є се­ред на­ве­де­них у впра­ві (60) фо­р­мул су­мі­с­ні?

Семінар 5 (2 год.)

66. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те від­но­шен­ня: (а) су­пе­ре­ч­но­с­ті (ко­нт­ра­ди­к­то­р­но­с­ті), (б) про­ти­ле­ж­но­с­ті (ко­н­т­ра­р­но­с­ті), (в) під­про­ти­ле­ж­но­с­ті (суб­ко­н­т­ра­р­но­с­ті), (г) під­по­ряд­ку­ван­ня і (д) не­за­ле­ж­но­с­ті між фо­р­му­ла­ми ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань. За до­по­мо­гою яких ана­лі­ти­ч­них таб­лиць мо­ж­на вста­но­ви­ти на­яв­ність/ від­су­т­ність за­зна­че­них від­но­шень?

67. В яких від­но­шен­нях пе­ре­бу­ва­ють ви­сло­в­лю­ван­ня в за­про­по­но­ва­но­му мі­р­ку­ван­ні: „При­ро­да - до­б­ро, якщо во­на по­ро­джен­ня Го­с­по­да”, - ска­зав Убе­р­тін. „Го­с­подь по­ви­нен бу­ти до­б­рим, якщо він по­ро­див при­ро­ду”, — по­смі­х­ну­в­ся Віль­ге­льм. (Эко У. Имя ро­зы // Ино­с­т­ран­ная ли­те­ра­ту­ра - 1988. - №7. - С. 32).

68. Для за­зна­че­них фо­р­мул:

(а) (р & (r É r)) É ~ q

(б) р & (q v r)

(в) р É (q « r)

про­де­мо­н­с­т­руй­те, що жо­д­на із фо­р­мул (а)-(в) не під­по­ряд­ко­вує ін­шу; а та­кож те, що ли­ше од­на фо­р­му­ла се­ред (а)-(в) є під­про­ти­ле­ж­ною по від­но­шен­ню до двох ін­ших.

69. До­ве­діть, що для будь-­яких двох фо­р­мул ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань р і q:

1. як­що р і q пе­ре­бу­ва­ють у від­но­шен­ні про­ти­ле­ж­но­с­ті, то:

(а) ко­ж­на з них під­по­ряд­ко­вує за­пе­ре­чен­ня ін­шої;

(б) за­пе­ре­чен­ня цих фо­р­мул (тоб­то, ~ р і ~ q) пе­ре­бу­ва­ють у від­но­шен­ні під­про­ти­ле­ж­но­с­ті.

2. як­що р і q пе­ре­бу­ва­ють у від­но­шен­ні під­про­ти­ле­ж­но­с­ті, то:

(а) за­пе­ре­чен­ня од­ні­єї фо­р­му­ли під­по­ряд­ко­вує ін­шу фо­р­му­лу, і на­впа­ки;

(б) між за­пе­ре­чен­ня­ми цих фо­р­мул (тоб­то, між ~ р і ~ q) на­яв­не від­но­шен­ня про­ти­ле­ж­но­с­ті.

3. р і q є рі­в­но­си­ль­ни­ми,

(а) як­що і тіль­ки як­що ~ р і ~ q є рі­в­но­си­ль­ни­ми;

(б) як­що і тіль­ки як­що р і ~ q пе­ре­бу­ва­ють у від­но­шен­ні су­пе­ре­ч­но­с­ті.

70. Опишіть процедуру використання методу резолюцій Куайна і методу зведення до нормальних форм для:

(а) встановлення виду формул.

(б) встановлення відношень логічного слідування, рівносильності, сумісності між формулами логіки висловлювань.

(в) вирішення завдань із вправи (55).

71. Яка ме­та і сут­ність за­сто­су­ван­ня но­р­ма­ль­них форм у ло­гі­ці ви­сло­в­лю­вань?

72. За­зна­че­ні фо­р­му­ли зве­діть до КНФ і ДНФ:

(а) ~(р & (q v ~ r)).

(б) р v ~ (q v r).

(в) ~ ((~ р & ~ q) v (~ r & d)).

(г) p & ~ (r v d) & q.

(д) (р v q) É ((q & ~ r) É p).

(e) (p É q) É (~ q É (p v r)).

(є) (рÉ r) É ~ (q É (q v r)).

73. За до­по­мо­гою ме­то­ду зве­ден­ня до но­р­ма­ль­них форм вста­но­віть вид

фо­р­мул:

(а) (р É q) É (~ p v q).

(б) (р É r) É ((p v q) É r).

(в) ~ [((p v q) É r) É (~ r É ~ p)].

(г) ((p & q) É r) É (q É r).

(д) (р É q) É ((p v r) É (q v r)).

74. За до­по­мо­гою ме­то­ду зве­ден­ня до но­р­ма­ль­них форм вста­но­віть чи є фо­р­му­ла ви­ко­ну­ва­ною:

(а) ((p v q) É r) É (~ r É ~ p).

(б) ((p & q) É r) É (q É r).

74. На­ве­діть при­кла­ди міркувань природної мови, які „рухаються” згідно із ві­до­мими вам схе­мами пра­ви­ль­них мі­р­ку­вань логіки висловлювань.

75. Ви­зна­чіть, які мі­р­ку­ван­ня (серед запропонованих) бу­дуть пра­ви­ль­ни­ми, за умо­ви іс­тин­но­с­ті ім­плі­ка­ти­в­но­го за­сно­в­ку „Я­к­що він не знає ло­гі­ки, то він не змо­же ви­рі­ши­ти це прак­ти­ч­не за­вдан­ня”:

(а) „Він не знає ло­гі­ки. От­же, він ви­рі­шить це прак­ти­ч­не за­вдан­ня”.

(б) „Він ви­рі­шив це прак­ти­ч­не за­вдан­ня. От­же, він знає ло­гі­ку”.

(в) „Він не знає ло­гі­ки. От­же, він не ви­рі­шить цьо­го прак­ти­ч­но­го за­вдан­ня”.

(г) „Він не ви­рі­шив цьо­го прак­ти­ч­но­го за­вдан­ня. От­же, він не знає ло­гі­ки”.

76. До­ве­діть, що:

(а) схе­ми стве­р­джу­ва­ль­но-­за­пе­ре­ч­но­го мо­ду­су роз­ді­ло­во-­ка­те­го­ри­ч­них ви­во­дів, за умо­ви ви­ко­ри­с­тан­ня сла­б­кої (не­ст­ро­гої) ди­з'ю­н­к­ції, не відтворю­ють стру­к­ту­ру пра­ви­ль­них мі­р­ку­вань;

(б) схе­ми скла­д­них конс­тру­к­ти­в­них і де­стру­к­ти­в­них ди­лем, за умо­ви ви­ко­ри­с­тан­ня стро­гої ди­з'ю­н­к­ції, не відтворю­ють стру­к­ту­ру пра­ви­ль­них мі­р­ку­вань.

77. Вста­но­віть, які умо­в­ні (ім­плі­ка­ти­в­ні) ви­сло­в­лю­ван­ня-­за­с­но­в­ки не­об­хід­но до­да­т­ко­во сфо­р­му­лю­ва­ти, аби мі­р­ку­ван­ня „ ~ р v q, от­же r v s ” бу­ло пра­ви­ль­ним. Від­по­відь об­гру­н­туй­те.

78. За до­по­мо­гою різних методів до­ве­діть, що ві­до­мі вам схе­ми пра­ви­ль­них мі­р­ку­вань ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань дій­с­но є пра­ви­ль­ни­ми.

79. Спро­буй­те ви­рі­ши­ти декілька завдань впра­ви (55), ви­ко­ри­с­то­ву­ю­чи схе­ми пра­ви­ль­них мі­р­ку­вань ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань, а та­кож (за не­об­хід­но­с­ті) ме­тод рі­в­но­си­ль­них пе­ре­тво­рень.

ТЕМА 3

Семінар 6 (2 год.)

1. У чо­му по­ля­гає спе­ци­фі­ка ло­гі­ки пре­ди­ка­тів по від­но­шен­ню до ло­гі­ки ви­сло­в­лю­вань?

2. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те ал­фа­віт мо­ви ло­гі­ки пре­ди­ка­тів.

3. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те по­нят­тя „терм” і „пре­ди­кат”.

4. Яким чи­ном від­рі­з­ня­ють ін­ди­ві­д­ні кон­с­та­н­ти від ін­д­и­ві­д­них змін­них?

5. Що та­ке ато­ма­р­на (еле­ме­н­та­р­на) фо­р­му­ла?

6. Що та­ке про­по­зи­цій­на фо­р­ма? В яких ви­па­д­ках ато­ма­р­на (еле­ме­н­та­р­на) фо­р­му­ла є си­м­во­лі­ч­ною ре­пре­зе­н­та­ці­єю (а) си­н­гу­ля­р­но­го ви­сло­в­лю­ван­ня? (б) про­по­зи­цій­ної фо­р­ми?

7. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те ква­н­то­ри за­га­ль­но­сті та іс­ну­ван­ня.

8. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те вза­є­мо­зв'я­зок ква­н­то­рів за­га­ль­но­сті та іс­ну­ван­ня.

9. Ви­ко­ри­с­то­ву­ю­чи пра­ви­ла за­пе­ре­чен­ня ква­н­то­рів, сфо­р­му­люй­те ви­сло­в­лю­ван­ня, що су­пе­ре­чать за­зна­че­ним:

(а) „І­с­нує най­бі­ль­ше про­сте чи­с­ло”;

(б) „Всі сту­де­н­ти скла­да­ють іс­пи­ти”;

(в) „Де­я­кі по­тя­ги не за­пі­з­ню­ю­ть­ся”;

(г) „Жо­д­на гі­по­те­за, що ви­ни­кає на сту­де­нт­сь­ких се­мі­на­рах, не має на­у­ко­вої цін­но­с­ті”.

10. Що в ло­гі­ці пре­ди­ка­тів вва­жа­ють фо­р­му­лою?

11. Які вхо­джен­ня змін­них у фо­р­му­ли ло­гі­ки пре­ди­ка­тів на­зи­ва­ють зв'я­за­ни­ми і ві­ль­ни­ми?

12. Для ко­ж­но­го ква­н­то­ра ви­зна­ч­те об­ласть йо­го дії; для ко­ж­ної змін­ної вка­жіть її ві­ль­ні та зв'я­за­ні вхо­джен­ня.

(а) "х(Рх É Qx);

(б) "x(Рх É Qx) & $уRхy;

(в) "x((PxÉQy) v $ yRxy);

(г) $x"у(Gxy v « xPyxz);

(д) "х(РхÉ $у(Qy & Rxy));

(е) "х"уР­ху É Qxz.

13. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те по­нят­тя „за­к­ри­та фо­р­му­ла” і „ві­д­к­ри­та фо­р­му­ла”.

14. Ви­зна­ч­те, які із пе­ре­лі­че­них ви­ра­зів є фо­р­му­ла­ми ло­гі­ки пре­ди­ка­тів. Пі­с­ля цьо­го вста­но­віть фо­р­му­ли, що є си­м­во­лі­ч­ни­ми за­пи­са­ми ви­сло­в­лю­вань, і фо­р­му­ли, що є си­м­во­лі­ч­ни­ми за­пи­са­ми про­по­зи­цій­них форм. По­яс­ніть свій ви­бір.

(а) $x₁P₁² x₁x₂ É "x₂(P₁¹x₂ v P₁²x₁x₂);

(б) "x₁P₁² x₁ v Q₁²x₁x₂;

(в) "x₁$x₂(P₁²x₁x₂ & ("x₂Q₁¹x₂ v (P₁¹a₁ É ~ Q₂²x₁a₂)));

(г) "x₁ É (P₁¹a v Q₁¹x₁).

15. Яку си­ту­а­цію на­зи­ва­ють ко­лі­зі­єю змін­них?

16. Яким чи­ном ква­н­то­ри за­га­ль­но­сті та іс­ну­ван­ня мо­ж­на ­тлу­ма­чи­ти за до­по­мо­гою ло­гі­ч­них спо­лу­ч­ни­ків кон'­ю­н­к­ції і ди­з'ю­н­к­ції?

17. Оха­ра­к­те­ри­зуй­те уні­вер­са­ль­не та ек­зи­с­те­н­цій­не роз­ши­рен­ня фо­р­мул ло­гі­ки пре­ди­ка­тів.

18. Сфо­р­му­люй­те роз­ши­рен­ня на­ве­де­них фо­р­мул (1)-(10) для уні­вер­су­мів U: а) {а}; б) {a, b}; в) {a, b, c}.

(1) "xKx;

(2) $хКх & Р;

(3) "хKx É $xGx;

(4) "x(Gx«P) v "хНх;

(5) На v $хGх;

(6) $x(Kx v Hx);

(7) "хКх « $х(Кх & ~Нх);

(8) ~"x(Kx & Gx);

(9) ~"хКx & ~"xGx;

(10) ~("xGx « $ x(Hx & ~Kx)).

19. Се­ред за­про­по­но­ва­них двох мно­жин ви­сло­в­лю­вань укра­ї­н­сь­кої мо­ви і фо­р­мул ло­гі­ки пре­ди­ка­тів від­шу­кай­те від­по­ві­д­ні па­ри ко­ре­к­т­них пе­ре­к­ла­дів:

(а) „Всі су­д­ді — юри­с­ти” (Gx, Lx);

(б) „Де­я­кі юри­с­ти — ша­х­ра­ї” (Sx);

(в) „Жо­д­ний су­д­дя не є ша­х­ра­єм”;

(г) „Де­я­кі су­д­ді — ста­рі за ві­ком, про­те — жва­ві” (Ох,Vx);

(д) „Су­д­дя Джонс не ста­рий і не жва­вий” ( j );

(е) „Не всі юри­с­ти — су­д­ді”;

(є) „Де­я­кі юри­с­ти, що є по­лі­ти­ка­ми, — чле­ни па­р­ла­ме­н­ту” (Рх,Сх);

(ж) „Жо­ден член па­р­ла­ме­н­ту не є жва­вим”;

(з) „Всі ста­рі чле­ни па­р­ла­ме­н­ту — юри­с­ти”;

(и) „Де­я­кі жі­н­ки вод­но­час є юри­с­та­ми і чле­на­ми па­р­ла­ме­н­ту” (Wx);

(і) „Жо­д­на жі­н­ка не є вод­но­час по­лі­ти­ком і ха­т­ньою го­с­по­ди­не­ю” (Hx),

(ї) „Де­я­кі жі­н­ки-­юри­с­ти є ха­т­ні­ми го­с­по­ди­ня­ми”;

(й) „Всі жі­н­ки-­юри­с­ти обо­ж­ню­ють яко­гось су­д­дю” (Аху);

(к) „Де­я­кі юри­с­ти обо­ж­ню­ють ли­ше су­д­дів”;

(л) „Де­я­кі юри­с­ти обо­ж­ню­ють жі­нок”;

(м) „Де­я­кі ша­х­раї не обо­ж­ню­ють жо­д­но­го юри­с­та”;

(н) „Су­д­дя Джонс не обо­ж­нює жо­д­но­го ша­х­ра­я”;

(о) „І­с­ну­ють як юри­с­ти, так і ша­х­раї, що обо­ж­ню­ють су­д­дю Джо­н­са”;

(п) „Ті­ль­ки су­д­ді обо­ж­ню­ють су­д­дів”;

(р) „Всі су­д­ді обо­ж­ню­ють ли­ше су­д­дів”.

***

(а) $x(Wx& Сх& Lx);

(6) ~Oj &~Vj;

(в) "х(Gx É ~Sx);

(г) $x(Wx &Lx & Нх);

(д) "x(Ajx É ~ Sx);

(е) "x(Gx É Lx);

(є) ~"x(Lx É Gx);

(ж) "x((Cx & Ox) É Lx);

(з) $x(Lx & Sx);

(u) $x(Lx & Px &Cx);

(і) "x( Wx É ~(Px & Hx));

(ї) "x(Cx É ~"x);

(й) $x(Gx & Ox & Vx);

(к) "x"y((Ayx & Gx) É Gy);

(л) $x(Sx & " y(Axy É ~Ly));

(м) $х$у(Lx &Sy & Axj & Ayj);

(н) "x((Wx & Lx) É $ y(Gy & Axy));

(o) $x(Lx & $y(Wy & Axy));

(n) "x( Gx É " y(Axy É Gy));

(p) $x(Lx & " y(Axy É Gy)).

20. Здій­с­ніть пе­ре­к­лад ви­сло­в­лю­вань за до­по­мо­гою ба­га­то­мі­с­ного пре­ди­ката:

(а) „Андрій шанує Олега”;

(б) „Х­тось шанує Олега”;

(в) „Андрій шанує когось”;

(г) „Олег шанує усіх”;

(д) „У­сі шанують Олега”;

(е) „Х­тось шанує когось”;

(є) „Де­х­то шанує усіх”;

(ж) „У­сі шанують когось”;

(з) „Кожен шанує кожного”;

(и) „Ко­ж­ен шанує се­бе”;

(і) „Де­х­то шанує се­бе”;

(ї) „Ні­х­то не шанує се­бе”;

(й) „Де­х­то не шанує се­бе”;

(к) „Де­х­то не шанує нікого”.

21. Здій­с­ніть пе­ре­к­лад ви­сло­в­лю­вань на мо­ву ло­гі­ки пре­ди­ка­тів:

(а) „Всі олені - сса­в­ці”;

(б) „Де­я­кі аку­ли - без­пе­ч­ні”;

(в) „Жо­д­на ри­ба не є те­п­ло­кро­в­но­ю”;

(г) „Не всі ри­би без­пе­ч­ні”;

(д) „Ре­п­ти­лії і ам­фі­бії не є те­п­ло­кро­в­ни­ми”;

(е) „Де­я­кі при­ма­ти і гри­зу­ни жи­вуть на де­ре­вах”;

(є) „Ті­ль­ки пта­хи лі­та­ють”;

(ж) „Се­ред па­ву­ків ли­ше та­ран­ту­ли і чо­р­ні вдо­ви от­руй­ні”;

(з) „Всі су­м­ча­с­ті (і тіль­ки во­ни) ма­ють ‘ки­ше­ню’ ”;

(и) „Де­я­кі ор­га­ні­з­ми є хре­бе­т­ни­ми, а де­які - мо­лю­с­ка­ми, але жо­д­ний ор­га­

нізм не є хре­бе­т­ним і мо­лю­с­ком вод­но­час”;

(і) „Ні­х­то, окрім дво­но­гих, не є ро­зу­м­ним”;

(ї) „Тва­ри­ни по­во­дять­ся спо­кій­но, як­що за ни­ми не слід­ку­ють”;

(й) „Тва­ри­ни по­во­дять­ся спо­кій­но, тіль­ки як­що за ни­ми не слід­ку­ють”;

(к) „Де­я­кі аку­ли - без­пе­ч­ні ри­би, але не всі без­пе­ч­ні ри­би є аку­ла­ми”;

(л) „Я­к­що Флі­пер - дель­фін і всі дель­фі­ни сса­в­ці, то­ді Флі­пер - сса­вець”;

(м) „Жо­д­ний го­ро­бець не бу­дує гні­з­да, до­ки не знай­де со­бі па­ру”;

(н) „Жо­д­ний хи­жак не є тра­во­їд­ним”;

(о) „Сса­вець із кри­ла­ми - це ле­тю­ча ми­ша”;

(п) „Сса­вець, що має кри­ла - лі­та­є”;

(р) „Жо­д­на ри­ба не має крил, як­що во­на не на­ле­жить до сі­м'ї Exocoetidae”;

(с) „Жо­д­ний без­зу­бий ор­га­нізм не є хи­жа­ком”;

(т) „Не всі хи­жа­ки - м'я­со­їд­ні”;

(у) „І­с­нує ре­п­ти­лія, яка ме­н­ша за со­ба­ку, але бі­ль­ша за ко­та”;

(ф) „Де­я­кі ри­би пла­ва­ють по­ві­ль­ні­ше, ніж лю­ди”;

(х) „І­с­нує та­ка ма­в­па, яка до­гля­дає за всі­ма (і ли­ше та­ки­ми) ма­в­па­ми, що са­мі

за со­бою не до­гля­да­ють”.

Семінар 7 (2 год.)

22. Вста­но­віть, чи бу­дуть фо­р­му­ли (1)-(10) із впра­ви 18 іс­тин­ни­ми за умо­ви ін­тер­пре­та­цій:

(а) U: {а}, К: {a}, G: {}, H: { }, Р- хи­б­не;

(б) U: {a, b}, K: {a}, G: {а, Ь], Н: { }, Р- іс­тин­не;

(в) U: {а, Ь, с}, К: (a, b, c}, G: {a, b}, H: {b}, P- хи­б­не.

23. Яку фо­р­му­лу ло­гі­ки пре­ди­ка­тів вва­жа­ють за­га­ль­но­зна­чу­щою?

24. Здій­с­ніть символізацію за­зна­че­них мі­р­ку­вань за допомогою мо­ву ло­гі­ки пре­ди­ка­тів і, використовуючи ме­то­д ана­лі­ти­ч­них таб­лиць, до­ве­діть, що міркування є правильними:

(а) „Том - кіт. Усі ко­ти - ро­зу­м­ні. От­же, Том - ро­зу­м­ний” (‘m’, ‘B’, ‘D’);

(б) „Том - ро­зу­м­ний. Жо­д­ний кіт не є ро­зу­м­ним. От­же, Том - не кіт”;

(в) „Том - не кіт. Ли­ше ко­ти від­да­ні. От­же, Том - не від­да­ний”;

(г) „У­сі лі­ка­рі-­чо­ло­ві­ки - дбай­ли­ві. Ва­силь - не дбай­ли­вий. Ва­силь - чо­ло­вік. От­же, Ва­силь - не лі­кар”. (‘M’, ‘N’, ‘S’, ‘n’).

(д) „У­сі фра­н­цу­зи, за ви­клю­чен­ням ме­ш­ка­н­ців Па­ри­жа, лю­б'я­з­ні.

Жак - фра­н­цуз. Жак - не лю­б'я­з­ний. От­же, Жак - ме­ш­ка­нець Па­ри­жа” (‘G’, ‘Р’, 'K’, ‘a’).

25. (1) За до­по­мо­гою ме­то­ду ана­лі­ти­ч­них таб­лиць до­ве­діть:

(а) ["x(Kx É Gx) & "x(Gx É ~Hх)] |= "x(Kx É ~Нх);

(б) ["x(Kx É ~Gx) & "x(Hx É Gх)] |= "x(Kx É ~Нх);

(в) ["x(K xÉ Gx) & "x(Hx É ~Gх)] |= "x(Kx É ~Нх);

(г) ["x(Gx É ~Kx) & "x(Hx É Gх)] |= "x(Kx É ~Нх);

(д) "х(Кх É Gx) |= ("хKx É "xGx);

(е) ["х((Кх v Gx) É Нх) & " х~Нх] |= "х~Кх.

(2) Для ко­ж­но­го із на­ве­де­них ни­ж­че мі­р­ку­вань ви­бе­ріть (се­ред за­про­по­но­ва­но­го у п.(1) пе­ре­лі­ку) пе­в­ну фо­р­му­лу, яка від­повідає йо­го ло­гі­ч­ній фо­р­мі:

(а) „Жо­д­ний ні­мець не є фра­н­цу­зом. Всі ба­ва­р­ці - ні­м­ці. От­же, жо­д­ний фра­н­цуз не є ба­ва­р­цем”;

(б) „Жо­д­ний фра­н­цуз не п'є пи­во. Всі ба­ва­р­ці п'ють пи­во. От­же, жо­д­ний фра­н­цуз не є ба­ва­р­цем”;

(в) „У­сі ба­ва­р­ці п'ють пи­во. Жо­ден фра­н­цуз не п'є пи­во. От­же, жо­д­ний ба­ва­рець не є фра­н­цу­зом”;

(г) „У­сі ні­м­ці - па­т­рі­о­ти. Жо­д­ний па­т­рі­от не є не­щи­рим. От­же, жо­д­ний ні­мець не є не­щи­рим”.

26. Здій­с­ніть символізацію за­зна­че­них мі­р­ку­вань за допомогою мо­ву ло­гі­ки пре­ди­ка­тів і, використовуючи ме­то­д ана­лі­ти­ч­них таб­лиць, до­ве­діть, що міркування є правильними:

(а) „Я­к­що ко­ж­ний ро­зу­м­ний фі­ло­соф - ци­нік і ли­ше жі­н­ки є ро­зу­м­ни­ми фі­ло­со­фа­ми, то то­ді, як­що іс­ну­ють ро­зу­м­ні фі­ло­со­фи, де­які жі­н­ки - ци­ні­ки”.

(б) „Де­я­кі ре­с­пу­б­лі­ка­н­ці лю­б­лять усіх де­мо­к­ра­тів. Жо­ден ре­с­пу­б­лі­ка­нець не лю­бить жо­д­но­го со­ці­а­лі­с­та. От­же, жо­ден де­мо­к­рат не є со­ці­а­лі­с­том”.

(в) „Я­к­що йде дощ, жо­д­на пта­ш­ка не є ща­с­ли­во­ю. Як­що йде сніг, де­які пта­ш­ки - ща­с­ли­ві. От­же, те, що сніг не йде, є не­об­хід­ною умо­вою для то­го, щоб йшов дощ” (по­зна­ч­те ‘дощ іде’ про­по­зи­цій­ною змін­ною p, а ‘сніг іде’ - q).

27. До­ве­діть, що:

(а) ~"х(Кх É Gx) & "х(Нх É Gx) |= $х~Нх;

(б) "x(Kx É p) & ~p |= "х~Kх;

(в) "x(Hxz É Нах) & Наz |= Наа;

(г) "х(Кх « Gx) & Ga |= $уКу;

(д) "x(Kx « Gx) & ~$y~Gy |= Kb;

28. До­ве­діть, що за­про­по­но­ва­ні ви­ра­зи не бу­дуть пра­ви­ль­ни­ми (по­бу­дуй­те роз­ши­рен­ня ква­н­то­р­них фо­р­мул для уні­вер­су­му U:{а,Ь} і знайдіть від­по­ві­д­ні контр­мо­де­лі):

(1) "xKx É"xGx |="x(Kx É Gx);

(2) $хКх É $ xGx |= "х(Кх É Gx);

(3) $хКх & $ xGx |= $х(Кх & Gx);

(4) $х(Кх v Gx) |= "xKx v "xGx;

(5) $х(Кх É Gx) |= $хКх É $xGx;

(6) $х(Кх É Gx) |= "хКх É "xGx;

(7) "xKx « "xGx |="x(Kx « Gx);

(8) $xKx « $xGx |="x(Kx « Gx);

(9) "xKx « p |= "x(Kx « p);

(10) $xKx « p |= "x(Kx « p);

(11) $x(Kx « p) |= $xKx « p;

(12) $x(Kx « p) |= "xKx « p.

29. Вста­но­віть пра­ви­ль­ність мі­р­ку­ван­ня:

(а) „Ко­ж­ний лі­н­г­віст зне­ва­жає де­яко­го фі­ло­со­фа, який кри­ти­ку­вав Хом­сь­ко­го. Хом­сь­кий — лі­н­г­віст. Ко­ж­ний фі­ло­соф, який кри­ти­ку­вав лі­н­г­ві­с­та — по­зи­ти­віст. От­же, ко­ж­ний лі­н­г­віст зне­ва­жає де­яко­го по­зи­ти­ві­с­та”.

(б) „І­с­нує хтось, хто го­то­вий за­пла­ти­ти за всі кви­т­ки. От­же, за ко­ж­ний кви­ток хтось го­то­вий за­пла­ти­ти” (по­зна­чення: ‘бу­ти лю­ди­но­ю’ - Р, ‘бу­ти кви­т­ком’ - В, ‘х го­то­вий за­пла­ти­ти за у’ - Gxy).

(в) „Ко­ж­ний, хто ку­пив кви­ток, отри­мує пре­мі­ю. От­же, як­що пре­мій не­має, то ні­хто не ку­пу­вав кви­т­ки” (по­зна­чення: ‘бу­ти кви­т­ком’ - G, ‘бу­ти пре­міє­ю’ - Р, ‘х ку­пує у’ - Вху, ‘х отри­мує у’ - Rxy).

(г) „У­сі ві­в­ці тва­ри­ни. От­же, усі го­ло­ви овець є го­ло­ва­ми тва­рин” (по­зна­ч­ення: ‘бу­ти ві­в­це­ю’ - Р, ‘бу­ти тва­ри­но­ю’ - G, ‘х є го­ло­вою у’ - Нху).

(д) „Кит — сса­вець. Де­які ри­би — сса­в­ці. Усі ри­би ма­ють хвіст. От­же, де­які хво­с­ти риб є хво­с­та­ми сса­в­ців” (по­зна­чення: ‘а є хво­с­том b’ - Hab).

(е) „Я­к­що ко­ж­ний роз­мо­в­ляє із ко­ж­ним, то­ді хтось по­зна­йо­мив їх. Ні­хто' не зна­йо­мить будь-­ко­го із будь-­ким, як­що він' їх обох не зна­є. Ко­жен роз­мо­в­ляє з Ос­та­пом. От­же, ко­ж­но­го зна­йо­мить з Ос­та­пом хтось, хто йо­го (Ос­та­па) зна­є” (по­зна­ч­ення: ‘а зна­йо­мить b і с’ - IаЬс, ‘а роз­мо­в­ляє із b’ - Pab, ‘а знає b’ - Gab, ‘Ос­тап’ – m).

30. Користуючись предикатом тотожності, символізуйте висловлювання:

(а) Наявні принаймні три помилки.

(б) Наявні щонайбільше три помилки.

(в) Наявні точно три помилки.

(г) Більше двох людей помітили помилку.

(д) Усі, за виключенням Андрія, пішли.

(е) Ніхто, окрім Юрія, не знає.

(є) Андрій співав, а хтось інший (хтось іще) роздивлявся навкруги.

(ж) Петро поважає тільки себе.

(з) Петро поважає якусь іншу людину.

(и) Лише Еверест варто підкорювати.

(і) Людей, які люблять тільки себе, не люблять інші люди.

31. Символізуйте запропоноване міркування і за допомогою методу аналітичних таблиць доведіть його правильність: «Існує щонайбільше дві розумні людини і принаймні два генії. Усі генії розумні. Отже, є точно дві розумні людини».

32. Доведіть, що відношення не може бути:

(а) інтранзитивним і рефлексивним;

(б) асиметричним і нерефлексивним;

(в) транзитивним, рефлексивним і асиметричним;

(г) транзитивним, несиметричним і іррефлексивним.

ТЕМА 4

Семінар 8 (2 год.)

1. Які висловлювання (і чому) називають „категоричними” („атрибутивними”, „асерторичними”, „немодалізованими”)?

2. Визначіть, які вирази (серед запропонованих) є категоричними висловлюваннями:

(а) „Котра година?”;

(б) „Цей хлопець не має ніякої суспільної вартості, він просто індивід”;

(в) „Усі люди є вільні і рівні у своїй гідності та правах”;

(г) „В салоні літака палити заборонено”;

(д) „Прошу вибачення”;

(е) „Знайди свій власний світ”;

(є) „Бог не без милості, а козак не без долі”.

3. Охарактеризуйте структурну будову простих категоричних висловлювань. Наведіть відповідні приклади.

4. Які існують види простих категоричних висловлювань?

5. До якого типу простих категоричних висловлювань (А, Е, І, О) належать висловлювання:

(а) „Існують посмішки, що заставляють бліднути”;

(б) „Жодна робота, в якій відсутні нові ідеї, не заслуговує на премію”;

(в) „Не все є золотом, що блищить”;

(г) „Надія помирає останньою”;

(д) „Інколи потяги запізнюються”;

(е) „Усі щасливі люди – добрі”.

6. За допомогою діаграм Венна зобразіть відношення між S i P у висловлюваннях А,Е,І,О.

7. Для пунктів (1)-(7) запропонованої діаграми сформулюйте відповідні твердження:

(1) Предмети, які є Р, але не є S і не є М;

(2) Предмети, які є Р і S, але не є М;

(3) ..........

(4) ..........

(5) ..........

(6) ..........

(7) ..........

(8) ..........

8. За допомогою діаграм Венна виразіть:

(а) Щось є D і не є С;

(б) Лише D є С;

(в) Ніщо не є D і щось є С;

(г) Щось не є С і не є D;

(д) Ніщо не є не-С і не є не-D;

(е) Усе є або D, або С;

(є) Усе є або D, або С і ніщо не є одноразово D і С;

(ж) Усі і лише С є D.

9. За допомогою діаграм Венна (на діаграмі використовуйте S-коло, М-коло і Р-коло) виразіть:

(а) „Жодне S не є М”;

(б) „Кожне М є S”;

(в) „Деякі Р є М і S”;

(г) „Лише S є Р”;

(д) „Деякі Р є М або S”;

(е) „Лише Р існують”.

10. Чи будуть правильними міркування:

(а) „Деякі S є Р. Отже, існують Р”;

(б) „Не існує (жодного) S. Отже, жодне S не є Р”.

Дайте відповідь за допомогою діаграм Венна.

11. Чи випливають висловлювання А, Е, І, О із засновку „Не існує (жодного) Р”. Дайте відповідь за допомогою діаграм Венна.

12. За допомогою діаграми Венна репрезентуйте твердження: „Ніхто, окрім хоробрих, не заслуговує на славу” (позначте: „S” – „хоробрі (люди)”, „Р” – „ті, хто заслуговує на славу”).

13. Які три групи законів досліджує традиційна теорія силогістики.

14. Сформулюйте закони логічного квадрату.

15. За допомогою законів логічного квадрату отримайте усі можливі висновки із запропонованих засновків:

(а) „Усі студенти складають іспити”;

(б) „Не кожний студент складає іспити успішно”;

(в) „Деякі студенти не з'являються на іспити”;

(г) „Невірно, що деякі студенти не з'являються на іспит без поважної причини”;

(д) „Деякі студенти складають іспити не зі своєю группою”;

(е) „Невірно, що існують студенти, які знають предмет краще, ніж екзаменатор”;

(є) „Жодний студент не звільняється від складання іспитів”;

(ж) „Невірно, що жоден студент не може закінчити курс екстерном”.

16. За допомогою законів „логічного квадрату” встановіть наявність/відсутність відношення логічного слідування між висловлюваннями у міркуваннях:

(а) З істинності висловлювання: „Не всі книги цікаві” випливає хибність висловлювання: „Жодна книга не є цікавою”;

(б) З хибності висловлювання: „Не всі книги цікаві” випливає хибність висловлювання: „Жодна книга не є цікавою”;

(в) З істинності висловлювання: „Не всі книги цікаві” випливає істинність висловлювання: „Невірно, що деякі книги цікаві”;

(г) З істинності висловлювання: „Жоден лев не є травоїдним” випливає істинність висловлювання: „Деяі леви не є травоїдними”;

(д) З істинності висловлювання: „Не кожна аморальна дія є протиправною” випливає хибність висловлювання: „Жодна аморальна дія не є протиправною”;

(е) З хибності висловлювання: „Не кожна аморальна дія є протиправною” випливає хибність висловлювання: „Жодна аморальна дія не є протиправною”;

(є) З істинності висловлювання: „Не кожна аморальна дія є протиправною” випливає істинність висловлювання: „Деякі аморальні дії – протиправні”;

(ж) З істинності висловлювання: „Деякі аморальні дії не є протиправними” випливає хибність висловлювання: „Кожна аморальна дія є протиправною”;

(з) З хибності висловлювання: „Жодна аморальна дія не є протиправною” випливає хибність висловлювання: „Всі аморальні дії – протиправні”;

(и) З істинності висловлювання: „Жодна аморальна дія не є протиправною” випливає істинність висловлювання: „Деякі аморальні дії не є протиправними”;

(і) З істинності висловлювання: „Деякі аморальні дії є протиправними” випливає істинність висловлювання: „Деякі аморальні дії не є протиправними”.

17. Чи будуть правильними міркування:

(а) „Невірно, що деякі іспити є важливими; отже, невірно, що усі іспити важливі”;

(б) „Невірно, що деякі іспити є важливими; отже, усі іспити не є важливими”;

(в) „Деякі іспити - важливі; отже, деякі іспити не є важливими”;

(г) „Не всі іспити є важливими; отже, невірно, що жоден іспит не є важливим”;

(д) "Усі іспити - важливі; отже, невірно, що деякі іспити не є важливими".

18. В чому полягає логічний сенс операцій: перетворення, обернення, протиставлення предикату, протиставлення суб'єкту?

19. Здійсніть перетворення, обернення, протиставлення предикату, протиставлення суб'єкту висловлювань:

(а) „Деякі шпигуни вчились в Оксфорді”;

(б) „Всі студенти – кмітливі”;

(в) „Жоден натуральне число не є ірраціональним”;

(г) „Деякі економічні кризи не спричинюють соціальну нестабільність”.

20. Встановіть вид безпосереднього умовиводу та його правильність:

(а) „Усі розповідні речення виражають судження. Отже, деякі речення, що виражають судження є розповідними”;

(б) „Деякі люди поважають закон. Отже, дехто серед тих, хто не поважає закон, не є Людиною”;

(в) „Жодна людина не є досконалою. Отже, усі недосконалі істоти є людьми”;

(г) „Жоден злочин не є справедливим. Отже, деякі несправедливі вчинки є злочином”;

(д) „Деякі люди міркують логічно. Отже, дехто серед тих, хто міркує логічно є Людиною”;

(е) „Більшість державних службовців не беруть хабарів. Отже, деякі хабарники не є державними службовцями”;

(є) „Усі бізнесмени займаються благодійністю. Отже, жоден серед тих, хто не займається благодійністю, не є бізнесменом”.

Семінар 9 (1 год.)

21. Охарактеризуйте структурну будову простого категоричного силогізму.

22. Що таке „фігура силогізму”?

23. В чому полягає проблематичність четвертої фігури простого категоричного силогізму?

24. Що таке „модус силогізму”?

25. Встановіть фігуру і модус силогізмів:

(а)

Всі люди смертні;

Всі греки - люди;

Всі греки смертні.

(б)

Жодна людина не є досконалою;

Усі греки - люди;

Жодний грек не є досконалим.

(в)

Всі філософи мудрі;

Деякі греки - філософи;

Деякі греки мудрі.

(г)

Жодний філософ не є злим;

Деякі греки - філософи;

Деякі греки не є злими.

(д)

Усі греки - люди;

Деякі смертні не є людьми;

Деякі смертні не є греками.

26. Які методи перевірки правильності модусів простого категоричного силогізму пропонує традиційна логіка? Охарактеризуйте семантичний метод модельних схем (діаграми Венна, діаграми Ейлера), синтаксичний метод загальних правил силогізму. Порівняйте переваги і недоліки зазначених методів.

27. Встановіть правильність модусів простого категоричного силогізму із вправи (25).

28. Встановіть, який силогістичний висновок випливає з кожної пари запропонованих засновків. Для кожної пари засновків, з якої неможливо виснувати силогістичний висновок, встановіть (за допомогою діаграмного методу), чи можливо, уводячи додатковий екзистенційний засновок все ж таки отримати силогістичний висновок.

(а)

Усі богохульники - злі;

Жодний святий не є богохульником;

..........

(б)

Жодна змія не літає;

Деякі змії отруйні;

..........

(в)

Жодна змія не літає;

Деякі птахи літають;

..........

(г)

Все, що цікавить мене викликає нудьгу у Петра;

Все, що цікавить Тетяну викликає нудьгу у Петра;

..........

(д)

Все, що цікавить мене викликає нудьгу у Петра;

Все, що цікавить Петра викликає нудьгу у Тетяни;

..........

(е)

Усі безкорисливі люди - щедрі;

Жодна скупа людина не є щедрою;

..........

(є)

Усі схильні до гарячковості люди - холерики;

Деякі оратори схильні до гарячковості;

..........

(ж)

Жоден банкрут не є багатим;

Деякі підприємці не є багатими;

..........

(з)

Жоден професор не є невігласом;

Деякі невігласи - марнославні;

..........

(и)

Він дав мені десять доларів;

Я був щасливий;

..........

(і)

Усі блідолиці - флегматичні;

Лише блідолиці мають поетичну зовнішність;

..........

29. З якими складнощами матиме справу традиційна логіка, оцінюючи правильність міркування: „Якщо усі пошукачі, що отримали повідомлення - філологи, то деякі пошукачі повідомлення не отримали. Або усі пошукачі отримали повідомлення, або усі пошукачі - філологи. Отже, якщо усі пошукачі- філологи отримали повідомлення, тоді деякі пошукачі, що не є філологами отримали повідомлення”.

30. Перевірте правильність міркувань:

(а) „Усі розумні люди - чемні, а усі чемні люди - терплячі. Отже, лише терплячі люди – розумні”;

(б) „Усі вітаміни - дешеві. Лише дешеві продукти поживні. Отже, усі вітаміни – поживні”;

(в) „Деякі інтелігентні люди не є розсудливими, бо жоден егоїст не є розсудливим, а деякі інтелігентні люди – егоїсти”;

(г) „Лише чемні люди - розумні, але деякі чемні люди не є інтелігентними. Отже, деякі розумні люди не є інтелігентними”;

(д) „Деякі чемні люди не є розумними, бо жодна чемна людина не є агресивною, а деякі агресивні люди не є розумними”;

(е) „Усі слабкі люди схильні до брехні, а те, що Петро схильний до брехні свідчить, що він не є виключенням”;

(є) „Деякі найкращі учні району не отримали місця в гімназії, бо жоден серед тих, хто отримав місце в гімназії не був допущений до іспитів у ліцеї, але все ж таки деякі учні, що були допущені до іспитів в ліцеї - найкращі в районі”;

(ж) „Філософські праці Канта є складними і лише складні твори є важливими. Отже, філософські праці Канта є важливими”;

(з) „Невірно стверджувати, що преса назвала усіх делегатів безвідповідальними. Скоріше навпаки, бо не усі делегати голосували за одноденний страйк і лише ті, хто дійсно за це голосував були засуджені як безвідповідальні”;

(и) „Ви - не те, що я. Я - людина. Отже, ви - не людина”;

(і) „Усі жителі Києва - люди. Усі жителі Дарницького району міста Києва - люди. Отже, усі жителі Дарницького району міста Києва - жителі Києва”.

(ї) „Усі великі людиноподібні мавпи походять від нижчих форм життя. Люди також походять від нижчих форм життя. Отже, усі люди - великі людиноподібні мавпи”;

(ж) „Дехто серед тих, хто не вірить, що Бог створив світ за сім днів, не є фундаменталістом, але деякі фундаменталісти вірять, що Бог створив світ за сім днів. Отже, жоден серед тих, хто не вірить, що Бог створив світ за сім днів, не є фундаменталістом”;

31. Прокоментуйте текст з точки зору теорії простого категоричного силогізму:

Л о г і к (до Літнього Добродія). Ось, наприклад, такий силогізм. В кота чотири лапи. Ізидор і Фріко мають по чотири лапи кожен. Отже, Ізидор і Фріко - коти.

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка). В мого собаки теж чотири лапи.

Л о г і к (до Літнього Добродія). В такому разі це кіт. [...]

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка, після довгих роздумів). Отже, за логікою, мій пес буде котом.

Л о г і к (до Літнього Добродія). За логікою так. Але протилежне теж слушне. [...]

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка). Так, логіка річ чудова.

Л о г і к (до Літнього Добродія). Якщо не зловживати нею. [...]

Ще один силогізм: усі коти смертні. Сократ смертний. Отже, Сократ кіт.

Л і т н і й Д о б р о д і й. І в нього чотири лапи. Справді, в мене був кіт, що звався Сократом.

Л о г і к. Бачте. [...]

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка). Так, отже, Сократ був котом!

Л о г і к (до Літнього Добродія). І нам це з'ясувала логіка. [...]

Повернімось до наших котів.

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка). Я слухаю. [...]

Л о г і к (до Літнього Добродія). Кіт Ізидор має чотири лапи.

Л і т н і й Д о б р о д і й. А звідки ви знаєте?

Л о г і к. Це гіпотеза.

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка). Ага! Гіпотеза! [...]

Л о г і к (до Літнього Добродія). У Фріко теж чотири лапи. Скільки лап у Фріко та Ізидора?

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка). Разом чи окремо? [...]

Л о г і к (до Літнього Добродія). Разом чи окремо - це залежно від обставин. [...]

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка, після важких роздумів). Вісім, так, вісім лап.

Л о г і к. Логіка привчає рахувати подумки.

Л і т н і й Д о б р о д і й. Так, різнобічна наука! [...]

Л о г і к (до Літнього Добродія). Я позбавлю наших котів двох лап. Скільки зостанеться лап у кожного?

Л і т н і й Д о б р о д і й. Це важко. [...]

Л о г і к (до Літнього Добродія). Навпаки, дуже легко.

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка). Може, вам воно легко, та мені аж ніяк. [...]

Л о г і к (до Літнього Добродія). Візьміть папірця, порахуйте. Двох котів позбавити шести лап. Скільки зостанеться лап у кожного?

Л і т н і й Д о б р о д і й. Зачекайте... (Витягає з кишені папірця й рахує). [...]

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка). Тут може бути кілька розв'язків.

Л о г і к (до Літнього Добродія). Кажіть. [...]

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка). Перше припущення: в одного кота може бути чотири, а в другого - дві лапи. [...]

Л о г і к. У вас є здібності, досить тільки скористатися ними.

Л і т н і й Д о б р о д і й. В мене часу нема зовсім. Я урядовець.

Л о г і к (до Літнього Добродія). Щоб учитися, завжди найдеться час. [...]

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка). Це вже трохи запізно для мене.

Л о г і к (до Літнього Добродія). Запізно ніколи не буває. [...]

Л о г і к (до Літнього Добродія). Ну, а інші розв'язки? Візьміться тільки добре... [...]

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка). В одного кота може бути п'ять лап... [...] А в другого одна. Але чи будуть вони тоді котами?

Л о г і к (до Літнього Добродія). Чом би ні? [...]

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка). Якщо відкинути від восьми лап дві, то двоє котів... [...] В кота може бути й шість лап... [...] А другий кіт узагалі без лап. [...]

Л о г і к (до Літнього Добродія). В такому разі один кіт був би привілейований. [...]

Л і т н і й Д о б р о д і й. А той, що без лап буде декласованим елементом? [...]

Л о г і к. Тут нема справедливості. Отже, це вже не логіка. [...]

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка). Не логіка? [...]

Л о г і к (до Літнього Добродія). Бо справедливість - це логіка. [...]

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка). Справедливість - іще одна прикмета логіки. [...]

Л о г і к (до Літнього Добродія). Ваш розум прояснюється! [...]

Л і т н і й Д о б р о д і й (до Логіка). З іншого боку, зовсім безлапий кіт... [...] ...не зміг би бігати досить прудко, щоб ловити мишей. [...]

Л о г і к (до Літнього Добродія). Ну, з логіки у вас уже успіхи! [...]

Л о г і к (до Літнього Добродія). Навіть безлапий кіт повинен ловити мишей. Натура в нього така. [...] (Ежен Йонеско. Носороги // Французька п'єса ХХ століття. Театральний авнгард. - К.: „Основи”, 1993. - с.448-452).

32. Охарактеризуйте полісилогізм, його структурну будову. Наведіть приклади прогресивних і регресивних полісилогізмів.

33. Прокоментуйте (спробуйте повністю відтворити міркування Холмса).

- Отже, Ватсоне, - промовив він зненацька, - ви не збираєтесь вкладати свої заощадження в південноафриканські цінні папери? [...]

- Як, чорт забирай, ви про це довідались? - запитав я. [...]

- Не так уже й важко побудувати низку виводів, в якій кожний наступний просто випливає з попереднього. Якщо після цього вилучити усі середні ланки і повідомити слухачу лише першу і останню ланки, вони справлять приголомшуюче, хоча і хибне враження. Після того як я помітив западинку між великим і вказівним пальцями вашої лівої руки, мені було зовсім неважко виснувати, що ви не збираєтесь вкладати свій невеликий капітал в золоті розсипи.

- Але я не бачу жодного зв'язку між цими двома обставинами!

- Охоче вірю. Проте я вам за декілька хвилин доведу що такий зв'язок існує. Ось випущені ланки цього найпростішого ланцюга: по-перше, коли вчора увечері ми повернулись із клубу, западинка між вказівним і великим пальцями вашої лівої руки була забруднена крейдою; по-друге, кожного разу, коли ви граєте на більярді, ви натираєте цю западинку крейдою, аби кий не ковзав у вашій руці; по-третє, ви граєте на більярді лише із Серстоном; по-четверте, місяць тому ви мені сказали, що Серстон запропонував вам придбати спільно із ним південноафриканські цінні папери, які надійдуть до продажу через місяць; п'яте, ваша чекова книжка замкнена у ящику мого письмового столу, і ви не попросили у мене ключа; шосте - ви не збираєтесь вкладати свої гроші в південноафриканські папери.

- Як просто! - вигукнув я.

- Звичайно, - сказав він, трохи уражений, - будь-яка задача виявляється дуже простою після того, як вам її розтлумачать. (Артур Конан Дойль. Записки о Шерлоке Холмсе. - К.: „Молодь”, 1957. - с.286-287).

34. В чому полягає специфічність ентимеми? Чому ентимему інколи називають риторичним силогізмом або „силогізмом із імовірного”? Наведіть приклади ентимем.

35. Створіть усі можливі ентимеми із силогізмів, що наведені у вправі (25).

36. Встановіть, висновок чи засновок (більший або менший) пропущено в запропонованих ентимемах:

(а) „Ця задача є нерозв'язуваною; тому її не вирішив жодний математик”;

(б) „Деякі книги - шкідливі, бо усе непотрібне – шкідливе”;

(в) „Усі англійці п'ють чай з молоком, але жоден француз не є англійцем”;

(г) „Жоден підручник цього автора не користується популярністю. Тому цей підручник не є підручником цього автора”;

(д) „Якщо він не вкрав цю річ, то для чого він її заховав?”.

37. Чи є правильними запропоновані ентимеми?

(а) „Олег готується до іспитів. Отже, він буде їх складати”;

(б) „Цей студент склав усі іспити, бо він отримує стипендію”;

(в) „Кожна людина бажає доброчесності, бо кожна людина бажає щастя”;

(г) „Шахрайство - злочин, позаяк воно підпадає під карну

відповідальність”;

(д) „Більшість викладачів університету навчались в університеті. Отже, і

Н. навчався в університеті”;

(е) „Раб - людина, тому його не можна тримати в неволі”;

(є) „Деякі студенти не люблять курсу „Логіка”, бо від цього курсу у них болить голова”;

(ж) „Справжній філософ не залежить від примх долі, бо він знаходить своє щастя у

розумовому і моральному вдосконаленні”.