Критерий факторизации

(необходимое и достаточное условие для достаточности статистики)

Для того, чтобы статистика была достаточной, необходимо и достаточно, чтобы ее плотность была представлена в виде:

p(x,)=q(T,)h(x) (*) (плотность зависит от параметра , только через q, h(x) от  не зависит)

Доказательство:

1. Пусть T – достаточная статистика, покажем (*)

2. p₀(x/T=t)=h(x)

3. p₀(x/T=t)=

p_(x)=

Доказательство в обратную сторону

Пусть (*) верна, докажем, что T – достаточная статистика.

Можем переписать все в обратном порядке

p₀(x/T=t)= =T(x₁⁽¹⁾,…, x_n⁽¹⁾)=t

по равенству факторизации =

Зависимость от Q исчезают, т.е. условное распространение от  не зависит, т.е. мы доказали равенство факторизации.

Пример: 1. Пусть X_i=R(0,) – равномерное распределение.

p(x,)=

p(x,)= =¹/_||_(0,)(max x_i) => выполняется тождество факторизации, т.е.

T(x)=max(x_i) при i<n

в качестве h(x)=1

2. Пуассоновское распределение

p(x,)= =

h(x)= ,тогда достаточная статистика

T=или можно взятьx, 2x, но |x | - не можем взять.

3. Показательное распределение

p(x)=e^x, x>0,  - параметрическая плотность

p(x)=ⁿe^Xi , тогда T=-достаточная статистика

4. Экспоненциальные семейства.

p(x,)=h(x)exp{T_i(x)_i()}r()

Достаточной статистикой является вектор T=(T₁,…,T_k)

т.к. сама функция является параметрической от этокого вектора, надо уменьшить размерность вектора. Вся выборка является достаточной статистикой.

5. Нормальное распределение.

p(x)= -плотность

если m известно, то достаточная статистика = (x_i-m)²

если m – не известно, то надо раскрыть квадрат.

=(m,²)

p(x)=

тогда достаточная статистика T(T₁,T₂), где

T₁=; T₂=

T₁=x, T₂=S²==

тогда S² функция от x² и x

29) Условное матожидание, его своиства.

1. Пусть X, Y – случайные величины.

p(x,y) – плотность распределения.

Определение: условная плотность распределения, при условии, что y фиксированое

p(x/y)=p(x,y)/p(y)

p(y+y<X<x+x / y<Y<y+y)=P(x<X<x+x , y<Y<y+y)/ P(y<Y<y+y)=

==этоможно брать в качестве условной плотности распределения

тогда мат.ожидание(условное) y-фиксированое

E(x/y)=

Рассмотрим мат.ожидание при условии, что какое-то событие A – фиксированое

E(x/A)= =

E(x/y) пусть A – не событие, а дискретно распределенная случайная величина, тогда

E(x/y)=E(x/A), где Y()=Y, А

Определение: Разбиением А множества  называется набор подмножеств А из .

1. 

2. A_iА_j=, ij

E(x/A)=E(x/A_i), если А_i

E(x/A)=E(x/A) ||_Ai() - формальное определение E при условии разбиения

Условное мат.ожидание обладает всеми свойствами мат.ожидания + другие свойства.

Пусть существуют 2 разбиения А и В. Пусть А>B

Мы говорим, что А является более мелким разбиением, чем B если любой элемент разбиения B является объединением элементов A.

Пусть B_i=_jA_ij

1. E(E(x/A)/B)=E(x/B)

2. E(E(x/B)/A)=E(x/B)

Т.е. всегда получается распределение вокруг более грубого распределения.

Доказательство:

2) Если B_i, то E – одно и тоже y любого A_ij, т.е. EB_i не зависит от выбора A_ij. Получается мат.ожидание постоянной и оно равно самой постоянной.

1) E(x/A_i)=

E(x/A)=

Предположим, что B_i=_jA_ij, построим внешнее

=====E(x/B)

3. E(E(x/A))=Ex

4. Y - измеримо относительно разбиения {Y=y}А

E(XY/A)=YE(X/A)

Если E(X/A)=0, то E(X/Y)=0

Пусть существует конечное разбиение А, рассмотрим алгебру А (или -алгебру)

E(x/A)=E(x/F) мы можем по разбиению определить -алгебру и наоборот.

Можно определить мат.ожидание при условии алгебры, чтобы сохранились все свойства

Теорема: E(x/F) называется случайной величиной со следующими свойствами

1. _АЕ(x/F)dp=_Аxdp для всех AF

2. E(x/F) – измеримо относительно А

Тогда определение мат.ожидания однозначно

Если взять x, то (2) свойство никогда не выполнится, х неизмеримо относительно F, т.к. измеримость однозначна.

E(x/F)<a)F