21) Проверка независимости признаков.

22) Критерий Колмогорова, Колмогорова-Смирнова.

Критерий Колмогорова

Лемма Смирнова

Критерий Колмогорова-Смирнова

23) Непараметрические критерии.

Критерий Колмогорова

Критерий Уилкоксона.

Критерий применяется для сравнения двух независимых выборок объема n₁ и n₂ и проверяет гипотезу H₀, утверждающую, что выборки получены из однородных генеральных совокупностей и, в частности, имеют равные средние и медианы.

Статистика W критерия определяется следующим образом. Расположим n₁ + n₂ значений объединенной выборки в порядке возрастания, т.е. в виде вариационного ряда. Каждому элементу ряда сопоставим в соответствие его номер в ряду – ранг. Если несколько элементов ряда совпадают по величине, то каждому из них присваивается ранг, равный среднему арифметическому их номеров. Последний элемент в ранжированной объединенной выборке должен иметь ранг n₁ + n_2. Этот факт можно использовать при проверке правильности ранжирования.

Пусть R₁ – сумма рангов первой выборки, R₂ – сумма рангов второй выборки. Вычислим значения ₁ и ₂:

Правильность вычислений проверяется по формуле:

Выборочное значение _B статистики критерия есть наименьшее из чисел ₁ и ₂. Существуют специальные таблицы, где приводятся вероятности того, что W < _B, при условии, что гипотеза H₀ верна, т.е. значения

p = P[W<_B/H₀]

для выборок объема n₁ и n₂.

Если объем каждой из выборок больше 8, то проверку гипотезы H₀ можно проводить, используя статистику

имеющую (при условии, что верна гипотеза H₀) приблизительно нормальное распределение N(0,1). В этом случае гипотеза H₀ отклоняется на уровне значимости , если выборочное значение z_ статистики Z удовлетворяет неравенству

z_B < U_ (или z_B > U_1-)

при левосторонней (правосторонней) альтернативной гипотезе H₁, и если

| z_B | > U_1-/2

при двусторонней альтернативной гипотезе H₁.

Пример:

Роды в срок: 0,80 (3); 0,83 (4); 1,89 (14); 1,04 (7); 1,45 (11); 1,38 (10); 1,91 (15); 1,64 (13); 0,73 (1); 1,46 (12) m=10

Прерванная: 1,15 (8); 0,88 (5); 0,90 (6); 0,74 (2); 1,21 (9) n=5

W=8+5+6+2+9 = 30

= 40

= ;

= -1,225

= 0,01, t_= -1,225

D = 0 – не отвергаем.

24) Общая задача дисперсионного анализа.

Пусть сущкствуют векторы Y=X+

X,YRⁿ, Rⁿ, A – матрица m^xn R^m – неизвестный вектор (параметр)

cov() = cov(y) = ²E, E= 0.

y₁ = x₁₁_+ x₁₂_+ … + x_1m_m + _

y₂ = x₂₁₂ + x₂₂₂ + … + x_2m_m + _2,

матрица x – известна,  - не известна.

H₀ : H^T=0 (можно считать, что =1).

Статистика критерия, который решает эту задачу.

F – критерий. F=(*) - r –ранг X, k – ранг H.

F=x₀, y_i – не зависимые стандартные случайные величины.

Это распределение Фишера с F_k,n-r степеней свободы.

R₀²=min_ (Y-X)^T(Y-X)

R₁²=min (Y-X)^T(Y-X) по ₁:H^T=0

Y=X+

Y

Y-X

X_

X

_

x - проекция. R₀² – расстояние от Y до X

R₀ – длина вектора (Y-X)

(Y-X)X.

(Y-X)X(-₁)

- означает, что cov=0 => независимость.

(Y-X) и X(-₁) – независимы => независимы и их длины : R₀² и (R₁²-R₀²)

Значит числитель и знаменатель (*) независимы.

F=-чтобы дисперсия всех величин =1

R₀ – сумма координат вектора Y находится в ортогональном дополнении пространства X => размерность общая – n

размерность X - n

=> размерность ортогонального дополнения X=(n-r).

Таблицы дисперсионного анализа.

	Степени свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат
Отклонение от числа H=0	k	R12-R02	(R12-R02)/k
Остаточная сумма квадратов	n-r	R02	R02/(n-r)
Полная сумма квадратов	n-k-r	R12	F

Y=X+

Проверяем гипотезу H^T=0

Решением является F-критерий

Предположим, что R(x)=r; R(H)=k | F – отношение Фишера F=

Если H₀ верна, то F имеет распределение Фишера – с n-r степенями свободы

F_k,n-r=

Когда H₀ – неверная – нецентральный критерий Фишера.

Очень большие значения.

W : F>t_ добиваемся P(F_k,n-r>t_)=

R₁ – сумма квадратов отклонений

R₀²=min_ (Y-X)^T(Y-X)

R₁²=min (Y-X)^T(Y-X) по ₁:H^T=0