Общая задача дисперсионного анализа.

Пусть сущкствуют векторы Y=X+

X,YRⁿ,Rⁿ,A– матрицаm^xnR^m– неизвестный вектор (параметр)

cov() =cov(y) =²E,E= 0.

y₁ =x₁₁_+x₁₂_+ … +x_1m_m +_

y₂ =x₂₁₂ +x₂₂₂ + … +x_2m_m +_2,

матрица x– известна,- не известна.

H₀:H^T=0 (можно считать, что=1).

Статистика критерия, который решает эту задачу.

F– критерий.F=(*) -r– рангX,k– рангH.

F=x₀,y_i– не зависимые стандартные случайные величины.

Это распределение Фишера с F_k,n-rстепеней свободы.

R₀²=min_(Y-X)^T(Y-X)

R₁²=min(Y-X)^T(Y-X) по₁:H^T=0

Y=X+

Y

Y-X

X_

X

_

x- проекция.R₀²– расстояние отYдоX

R₀– длина вектора (Y-X)

(Y-X)X.

(Y-X)X(-₁)

- означает, что cov=0 => независимость.

(Y-X) иX(-₁) – независимы => независимы и их длины :R₀²и (R₁²-R₀²)

Значит числитель и знаменатель (*) независимы.

F=- чтобы дисперсия всех величин =1

R₀– сумма координат вектораYнаходится в ортогональном дополнении пространстваX=> размерность общая –n

размерность X-n

=> размерность ортогонального дополнения X=(n-r).

Таблицы дисперсионного анализа.

	Степени свободы	Сумма квадратов	Средний квадрат
Отклонение от числа H=0	k	R12-R02	(R12-R02)/k
Остаточная сумма квадратов	n-r	R02	R02/(n-r)
Полная сумма квадратов	n-k-r	R12	F

Y=X+

Проверяем гипотезу H^T=0

Решением является F-критерий

Предположим, что R(x)=r;R(H)=k|F– отношение ФишераF=

Если H₀верна, тоFимеет распределение Фишера – сn-rстепенями свободы

F_k,n-r=

Когда H₀– неверная – нецентральный критерий Фишера.

Очень большие значения.

W:F>t_добиваемсяP(F_k,n-r>t_)=

R₁– сумма квадратов отклонений

R₀²=min_(Y-X)^T(Y-X)

R₁²=min(Y-X)^T(Y-X) по₁:H^T=0

Билет №32

Однофакторный, двуфакторный дисперсионный анализ. Однофакторный дисперсионный анализ

Предположим, что наши наблюдения: y_ij=_i+_iji=1..I,j=1..J

Считаем, что на наблюдения влияет -фактор (например фактор наблюдения)

_i–i-ый способ обработки.

влияет ли способ обработки на наблюдение т.е.

H₀:_=_=…=_

Сначала покажем, что это линейная схема.

Y=;=; Надо чтобыY=Xp+, тогда Х=R(x)=числу столбцов, т.е.R(X)=I

Проверим H₀:_=_=…=_

Рассмотрим H^T

H₁^T=R(H)=I-1

n=k=I-1;n-r=n-I

Чтобы найти minнадо продифференцировать по_k

R₀²=min_;==0

_k=y_k.некое усреднение

R₀²=

Предположим, что все _iравны и равны

R₁²=min_

если продифференцировать по , получим

_k=y_..;R₁²=

R₁²-R₀²=;y.. – усреднение по двум параметрам

Двуфакторный дисперсионный анализ

y_ij=+_i+_j+_ij;i=1..I,j=1..y

Предположим, что ==0

Теперь на наблюдения действуют два фактора

H_A=₁=…=_I=0

H_B=₁=…=_y=0

Пусть существует пшеница разных сортов, она высажена в различных регионах.

Наблюдение – урожайность.

Вопрос – какой сорт лучше.

Но в различных районах – разный урожай, но фактор региона мешает, поэтому на все сорта высаживать, чтобы проверить.

можно наоборот.

 - общее решение.

Будем проверять только H_

=- независимы,X=

т.к. Y=X+

везде присутствует 

Ранг : r=R(x)=I+Y+1-2=I+Y-1

n-r = IY-I-Y+1=(I-1)(Y-1)

Ранг H - ?

H^T=

Ранг H : R(H)=Y-1=k

Как вычислять R₀²иR₀¹

R₀²=(*)

==0

Метод множителей Лагранжа.

G=Q-2₁-2₂

|

просуммируем поi, с учетом, что==0

если (*) дифференцируема по , то получим оценку для

=y..оценка для

=>_`=<sub></sub>`=0

_i=y_i.-y..

_j=y._j-y..

Подставим в (*)

R₁²=? предположим, чтоY_ij=+_i+_ij(считаем,нет)

получим тоже самое

=y..

_i=y_i.

R₁²=;R₁²-R₀²=вычислили все для дисперсионного анализа

Билет №33