Критерий согласия Пирсона

Критерий Пирсона, или критерий χ² — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу H₀ о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения F(x). Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение F^*(x) исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического F^*(x) и теоретического распределений производится с помощью специально подобранной случайной величины — критерия согласия. Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.

Статистика критерия

Для проверки критерия вводится статистика:

где — предполагаемая вероятность попадения в i-й интервал, — соответствующее эмпирическое значение, n_i — число элементов выборки из i-го интервала.

Эта величина в свою очередь является случайной(в силу случайности X) и должна подчиняться распределению χ².

Правило критерия

Перед тем, как сформулировать правило принятия или отвержения гипотезы необходимо учесть, что критерий Пирсона обладает правосторонней критической областью.

Правило.Если полученная статистика превосходитквантильзакона распределениязаданногоуровня значимостисили сстепенями свободы, где k — число наблюдений или число интервалов (для случаяинтервальноговариационного ряда), а p — число оцениваемыхпараметровзакона распределения, то гипотезаотвергается. В противном случае гипотеза принимается на заданном уровне значимости.

28) Критерий согласия Пирсона (Хи-квадрат)

Наше изложение близко к [7, § 30.1] и [13, § 10.4]. Мы рассматриваем независимую выборку, обозначая неизвестную функцию распределения. Нас интересует вопрос о том, согласуются ли данные наблюденийс простой гипотезой

где -- некоторая конкретная фиксированная функция распределения.

Вначале разобъем множество на конечное число непересекающихся подмножеств. Пусть-- вероятность, соответствующая функции распределения, обозначимОчевидно, что

Теперь сделаем группировку данных аналогично процедуре, описанной в  6.3, а именно, определим

(50)

Очевидно, что в силу случайных колебаний эмпирические частоты будут отличаться от теоретических вероятностей. Чтобы контролировать это различие, следует подобрать хорошую меру расхождения между экспериментальными данными и гипотетическим теоретическим распределением. По аналогии с идеей метода наименьших квадратов в качестве такой меры расхождения можно взять, например,, где положительные числаможно выбирать более или менее произвольно. Как показал К. Пирсон, если выбрать, то полученная величина будет обладать рядом замечательных свойств. Таким образом, положим

(51)

Подчеркнем, что величина вычисляется по выборке. Функциюпринято называтьстатистикой Пирсона. Обсудим ее свойства.

Поведение, когда гипотезаверна.

Речь идет о поведении при увеличении объема выборки: .

Теорема К. Пирсона.Предположим, что гипотеза верна. Тогда при распределение величины сходится к распределению хи-квадрат с степенью свободы, то есть,

Практический смысл этой теоремы в том, что при большом объемевыборки распределениеможно считать распределением хи-квадрат сстепенью свободы.