Распространение ошибок

Одним из наиболее важных вопросов в численном анализе является вопрос о том, как ошибка, возникшая в определенном месте в ходе вычислений, распространяется дальше, т.е. становится ли ее влияние больше или меньше по мере того, как производятся последующие операции.

Крайним случаем является вычитание двух почти равных чисел: даже при очень маленьких ошибках обоих этих чисел относительная ошибка разности может оказаться очень большой. Эта большая относительная ошибка будет распространяться дальше при выполнении всех последующих арифметических операций.

Для оценки ошибок, получаемых при вычислениях, нам потребуются формулы оценки абсолютной ошибки арифметических операций. Выпишем эти формулы.

Представление чисел в эвм

Принципиальное ограничение на выполнение арифметических вычислений накладывает способ представления чисел в памяти ЭВМ.

При представлении действительных чисел в памяти ЭВМ возникают ошибки, обусловленные тем, что дробное десятичное число не всегда точно представимо в двоичной системе счисления (Например, дробь 1/10 имеет конечное десятичное представление 0.1, но, будучи переведена в двоичную систему счисления, становится бесконечной дробью 0.000110011001100…). Поэтому в ЭВМ нельзя представить не только все трансцендентные и иррациональные числа, но и даже все рациональные числа. ЭВМ позволяет представить лишь конечное подмножество действительных чисел. При этом особо выделяется множество целых чисел, для которых в ЭВМ, как правило, используется специальный способ представления. Происходит раздвоение множества целых чисел. Одно и то же целое число можно представить как:

• машинное целое число;

• машинное число с фиксированной запятой.

Разложение функции синуса в ряд

Первое, что необходимо сделать при вычислении какой-либо функции по ее разложению в ряд, это уменьшить, если возможно, диапазон значений аргумента, для которых требуется это вычисление. Это может значительно уменьшить ошибку округления. «Математическое» определение синуса через его разложение в степенной ряд пригодно для всех значений аргу­мента, но при этом подразумевается, что вычисление синуса необхо­димо производить с бесконечно большим количеством значащих цифр. На прак­тике при вычислениях с помощью ЭВМ степенной ряд для синуса стано­вится совершенно бесполезным при больших значениях аргументах и дает совершенно бессмысленные результаты.

В случае синуса задача решается весьма просто:

,

Таким образом, отнимая некоторое число, кратное , мы сводим задачу нахождения синуса произвольного угла к задаче нахождения угла, лежащего между - /2 и /2.

На практике уменьшение аргумента не производится последовательным вычитанием. Вместо этого первоначальный угол делится на , причем деление организовано так, что частное получается целым. Остаток от деления будет определять собой некоторый угол, заключенный между 0 и . Если остаток больше /2, то еще одно вычитание дает угол между - /2 и /2. Целое частное от деления исходного угла на используется для того, чтобы определить, следует ли изменить знак окончательного результата (при нечетном частном).