Б1. 1.Волны де Бройля — волны, связанные с любой микрочастицей и отражающие их квантовую природу. Любая движущаяся частица (например, электрон) ведёт себя не только как локализованный в пространстве перемещающийся объект - корпускула, но и как волна, причём длина этой волны даётся формулой = h/р, где h = 6.6^.10^-34 Дж^.сек – постоянная Планка, а р – импульс частицы. Эта волна и получила название волны де Бройля.

Согласно статистической интерпретации волны де Бройля следует рассматривать как волны вероятности. Более определенно: интенсивность волны де Бройля в каком-либо месте пространства пропорциональна вероятности обнаружить частицу в этом месте.

Свойства волн де Бройля:

1) Фазовая скорость волны де Бройля вычисляется в результате дифференцирования этого уравнения по времени: E – p dx/dt = 0,. υ_ф = dx/dt = E/p = mc²/mυ = c c/υ, где υ-скорость частицы. Т.к. υ<c, то фазовая скорость волн де Бройля всегда больше скорости света в вакууме, т.е. υ_ф > c.

Это соотношение отражает особое специфическое свойство волн де Бройля.

2) Групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения частиц: υ_r = ds/dt = υ.

3) Длинам боровских орбит соответствуют стоячие волны де Бройля, т.е. в длину боровской орбиты укладывается целое число стоячих волн де Бройля: 2πr_n = nλ.

2.уровнем Ферми или энергией Ферми в металлах является энергия, которую может иметь электрон при температуре абсолютного нуля. При нагревании металла происходит возбуждение некоторых электронов, находящихся вблизи уровня Ферми (за счет тепловой энергии, величина которой порядка kT). Но при любой температуре для уровня с энергией, соответствующей уровню Ферми, вероятность заполнения равна 1/2. Все уровни, расположенные ниже уровня Ферми, с вероятностью больше 1/2 заполнены электронами, а все уровни, лежащие выше уровня Ферми, с вероятностью больше 1/2 свободны от электронов.

Для электронного газа в металлах при Т = 0 величина энергии Ферми однозначно определяется концентрацией электронов и ее можно выразить через число n частиц электронного газа в единице объема: зависимость энергии Ферми от концентрации электронов нелинейная.

С ростом температуры (а также уменьшением концентрации электронов) уровень Ферми смещается по шкале энергий влево, но его заселенность остается равной 1/2.

3.Молярная теплоёмкость кристаллического твёрдого тела не зависит от его состава и равна 3R.

Закон Дюлонга-Пти (Закон постоянства теплоёмкости) — эмпирический закон, согласно которому молярная теплоёмкость твёрдых тел при комнатной температуре близка к 3R: ,где R — универсальная газовая постоянная.

Закон Дебая: C_μ ~ T³.

Фонон — квазичастица, представляющая собой квант колебательного движения атомов кристалла.

4.По закону Стефана-Больцмана r=t*T^4

Закон смещения Вина: лямбда=b/T T=b/лямда

Б.2 1.Волновая функция имеет статистический смысл: квадрат модуля волновой функции определяет плотность вероятности нахождения частицы (электрона): dw/dV = |Ψ|².

Здесь dw вероятность нахождения частицы в элементе объема от V до V+dV.

Свойства волновой функции:

1) Правило нормировки:

Правило выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией во всем пространстве равна единице.

2) Импульс частицы в каждом из направлений x, y, z пропорционален первой производной волновой функции, делённой на саму волновую функцию, а именно:          

где p_x , p_y , p_z — проекции импульсов на соответствующие оси координат, i = √-1 - мнимая единица, ħ = h/2π - постоянная Планка.

3) Кинетическая энергия частицы (p²_x + p²_y + p²_z) / 2m пропорциональна второй производной, или кривизне волновой функции, деленной на эту волновую функцию.

Стационарное уравнение Шредингера для движения электрона в кулоновском поле ядра атома водорода и водородоподобных атомов имеет вид: ∆ψ + (8π²m/h²)(E-U)Ψ = 0,

где Ψ – волновая функция, ∆ - оператор Лапласа, Е – полная энергия электрона в атоме, U = -(Ze²/4πε₀r) – потенциальная энергия.

2. Вырожденный газ — газ, на свойства которого существенно влияют квантовомеханические эффекты, возникающие вследствие тождественности его частиц. Вырождение наступает в условиях, когда расстояния между частицами газа становятся соизмеримыми с длиной волны де Бройля; в зависимости от спина частиц выделяются два типа вырожденных газов - ферми-газ, образованный фермионами (частицами с полуцелым спином) и бозе-газ, образованный бозонами (частицами с целым спином).

Условия вырождения

где N — объемная концентрация частиц,

- длина волны де Бройля частиц массы m, движущихся со скоростью v.

Условия вырождения выполняются при достаточно низкой температуре T и высокой концентрации частиц N.

3.Внутренняя энергия 1 моля вещества:

.

находится из соотношения для среднего значения:

и составляет: , отсюда:

Определяя теплоёмкость как производную внутренней энергии по температуре, получаем окончательную формулу для теплоёмкости Согласно модели, предложенной Эйнштейном, при абсолютном нуле температуры теплоёмкость стремится к нулю, при больших температурах, напротив, выполняется закон Дюлонга-Пти.

4. мощность равна Q/t

Б3. 1. Корпускулярно-волновой дуализм — это теория о том, что свет представляется на микроуровне одновременно и как мельчайшие частицы (корпускулы), и как волны. В частности, свет — это и корпускулы (фотоны), и электромагнитные волны.

Луи де Бройль выдвинул гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Он утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами.

Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики — энергия E и импульс p, а с другой стороны — волновые характеристики — частота и длина волны.

Формула де Бройля устанавливает зависимость длины волны λ, связанной с движущейся частицей вещества, от импульса p частицы:

где m — масса частицы, v — ее скорость, h — постоянная Планка. Волны, о которых идет речь, называются волнами де Бройля.

Связь между энергией частицы E и частотой ν волны де Бройля:

2. Магнитный момент, векторная величина, характеризующая магнитные свойства

Орбитальный магнитный момент

вектор L - орбитальный момент количества движения, квадрат которого равен

Знак минус обусловлен отрицательным зарядом электрона и означает, что направления магнитного момента mL и орбитального момента L противоположны.

Каждый электрон в атоме обладает орбитальным моментом импульса и собственным спиновым моментом , которым соответствуют магнитные моменты и . И между всеми этими моментами осуществляется взаимодействие.

Механические моменты всех электронов атома и складываются в результирующий механический момент атома .

В квантовой механике момент импульса квантуется, то есть он может изменяться только по «квантовым уровням» между точно определенными значениями.

спиновой момент импульса всегда кратен

Математически полный момент импульса в квантовой механике определяется как оператор физической величины из суммы двух частей, связанных с пространственным движением — в атомной физике такой момент называют орбитальным, и внутренним спином частицы — соответственно, спиновым.

Где и — координатный и импульсный оператор, соответственно, а второй — на внутренние, спиновые.

3. Ядерные силы – силы, удерживающие нуклоны в ядре. Ядерная сила – сила притяжения. Свойства ядерных сил:

1)Самое сильное из известных в природе взаимодействий.

2)Зарядовая независимость.

3)Ядерные силы – явление краткодействующее.

4)Обладает свойством насыщения.

5)Не являются центральными ядерными силами.

6)Вид нуклон - нуклонного потенциала.

Особенности

1)Ядерные силы являются короткодействующими.Их радиус действия имеет порядок 10-15м.На расстояниях, существенно больших 10-15м, притяжение нуклонов сменяется отталкиванием.

2)Сильное взаимодействие не зависит от заряда нуклонов.Ядерные силы, действующие между протоном и нейтроном, двумя протонами или двумя нейтронами, имеют одинаковую величину.Это свойство называется зарядовой независимостью ядерных сил.

3)Ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов нуклонов.Так, например, нейтрон и протон удерживаются в ядре атома дейтерия только в том случае, если их спины параллельны друг другу.

4)Ядерные силы не являются центральными.Их нельзя представить направленными вдоль прямой, соединяющих центры взаимодействующих нуклонов.Нецентральность ядерных сил вытекает, в частности, из того факта, что они зависят от ориентации спинов нуклонов.

5)Ядерные силы обладают свойством насыщения(это означает что каждый нуклон в ядре взаимодействует с ограниченным числом нуклонов).Насыщение проявляется в том, что удельная энергия связи нуклонов в ядре с увеличением числа нуклонов не увеличивается, а остаётся примерно постоянной.Кроме того, на насыщение ядерных сил указывает пропорциональность размеров ядра количеству нуклонов в нём.

4. I = Io ехр(- μ d);

Б4.1. Уравнение Шредингера для атома водорода:

где ψ - волновая функция (аналог амплитуды для волнового движения в классической механике), которая характеризует движение электрона в пространстве как волнообразное возмущение; x, y, z - координаты, m - масса покоя электрона, h - постоянная Планка, E - полная энергия электрона, E_p - потенциальная энергия электрона.

Анализ решения уравнения Шредингера дает следующие результаты:

1. Электрон в атоме может иметь только определенные дискретные (квантованные) значения энергии, которые совпадают с выражением

E=-(Z²me⁴/8ε₀²h2n2),

где n – главное квантовое число.

2. Орбитальный момент импульса L электрона в атоме также может принимать лишь ряд дискретных значений

L=(h/2π)√l(l+1),

Где l – орбитальное квантовое число.

3. Проекция орбитального момента импульса L_z на выбранное направление OZ (например, направление внешнего магнитного поля) тоже квантуется

L_z=(h/2π)m,

где m – магнитное квантовое число.

Потенциал ионизации - разность электрических потенциалов, ускоряющая электрон до энергии, равной работе ионизации. Потенциал ионизации измеряется в вольтах и является индивидуальной характеристикой вещества. Различают: - первый потенциал ионизации, позволяющий оторвать один электрон от нейтрального невозбужденного атома; - второй потенциал ионизации, позволяющий оторвать два электрона; - третий потенциал ионизации, позволяющий оторвать два электрона и т.д.

2. Соотношения неопределенностей Гейзенберга, их физическое содержание

Принцип неопределённости Гейзенберга - в квантовой механике так называют принцип, дающий нижний (ненулевой) предел для произведения дисперсий величин, характеризующих состояние системы.

Соотношения неопределённости Гейзенберга — это теоретический предел точности любых измерений. Они справедливы для так называемых идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана. Они тем более справедливы для неидеальных измерений или измерений Ландау.

Соответственно, любая частица (в общем смысле, например несущая дискретный электрический заряд) не может быть описана одновременно как «классическая точечная частица» и как волна. (Сам факт того, что какое-либо из этих описаний может быть справедливо, по крайней мере в отдельных случаях, называют корпускулярно-волновым дуализмом). Принцип неопределённости, в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, верен в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим, например частица в коробке с определённым значением энергии; то есть для систем, которые не характеризуются ни каким-либо определённым «положением» (какое-либо определённое значение расстояния от потенциальной стенки), ни каким-либо определённым значением импульса (включая его направление).

Соотношение неопределенности Гейзенберга показывает, что “между точностью, с которой одновременно может быть установлено положение частицы, и точностью ее импульса существует определенное соотношение”: q p ≥ h ,

где - среднеквадратичное отклонение.