3. Методы решения

Данная задача относится к типу целочисленных.

Экстремальная задача, переменные которой принимают лишь целочисленные значения, называется задачей целочисленного программирования.

Математическая модель целочисленной задачи:

При решении полностью целочисленных задач линейного программирования используются:

- методы отсечений

- методы разветвлений

- приближенные методы (даны допустимые решения, хотя и в общем случае неоптимальные)

Небольшая размерность задачи позволяет применить метод динамического программирования и метод сечения Гомори. Т.к. в основе последнего лежит двойственный симплекс метод линейного программирования, позволяющий наряду с нахождением решения, выявить и чувствительность модели к изменению параметров, то решим задачу этим методом.

4. Решение задачи Прежде чем приступить к решению задачи запишем ее в общем виде:

L

М аксимизировать

при условиях

при  .

Цель задачи – получение максимальной прибыли – может быть достигнута несколькими способами. Математическим выражением цели является критериальная функции L, структура которой отражает вклад каждого из способов достижения цели. В сформулированной задаче представлено n таких способов. Под способом достижения цели понимается получение информации о распределении ресурсов для максимизации прибыли. Коэффициент C_j представляет собой удельную прибыль применения j-того способа достижения цели (прибыль от продажи одного изделия j-того типа). Переменные Х_j – искомые величины, представляющие собой интенсивность использования j-того способа достижения цели ( количество изделий j-того типа).

Для достижения цели имеем: m- виды ресурсов, b_i – возможный объем потребления i-того ресурса (максимальное количество древесного ресурса и трудового фактора). Коэффициент a_ij – расход

i-того ресурса для производства одного изделия j-того типа.

Метод Гомори

Решим задачу с нецелочисленными переменными:

Максимизировать

L(x) = 60x₁+25x₂ +140x₃+160x₄

при ограничениях

5x₁ + x₂ + 12x₃ + 15x₄≤1500

3x₁ + 2x₂ + 6x₃ + 5x₄≤1000

7x₁ + 5x₂ + 10x₃ + 12x₄≤3200

x₁≥40

x₂≥120

x₃≥20

x₄≤20

хi≥0

Этап 1

Приведем модель к стандартному виду: введем балансовые переменные x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x_10, x_11, не имеющие физического смысла для приведения неравенств к равенствам.

Максимизировать

L(x) = 60x₁+25x₂ +140x₃+160x₄

при ограничениях

5x₁ + x₂ + 12x₃ + 15x₄ + x₅ = 1500

3x₁ + 2x₂ + 6x₃ + 5x₄ + x₆ = 1000

7x₁ + 5x₂ + 10x₃ + 12x₄+x₇ = 3200

x₁ -x₈ = 40

x₂ -x₉ = 120

x₃-x₁₀ = 20

x₄ +x₁₁ = 20

x_1… x₁₁≥0

Решение системы производится путём ввода искусственных переменных Х_i. Для исключения из базиса этих переменных, их вводят в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами M, имеющими смысл "штрафов" за ввод искусственных переменных. Таким образом, из исходной получается новая M-задача.

Если в оптимальном решении М-задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении M-задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.

Симплекс-таблица, которая составляется в процессе решения, используя метод искусственного базиса, называется расширенной. Она отличается от обычной тем, что содержит две строки для функции цели: одна – для составляющей L(x), а другая – для составляющей M. При составлении симплекс таблицы полагают, что исходные переменные являются небазисными, а дополнительные (x_n+m) и искусственные(X_i)- базисными.

Этап 2

Введем искусственные переменные x₁₂, x₁₃, x₁₄

5x₁ + x₂ + 12x₃ + 15x₄ + x₅ = 1500

3x₁ + 2x₂ + 6x₃ + 5x₄+x₆ = 1000

7x₁ + 5x₂ + 10x₃ + 12x₄ +x₇ = 3200

x₁ -x₈ +x₁₂ = 40

x₂ -x₉ + x₁₃ = 120

x₃ -x₁₀ + x₁₄ = 20

x₄ +x₁₁ = 20

Целевая функция:

L(X) = 60x₁+25x₂+140x₃+160x₄ - Mx₁₂ - Mx₁₃ - Mx₁₄ → max

Из уравнений выражаем искусственные переменные:

x₁₂ = 40-x₁+x₈

x₁₃ = 120-x₂+x₉

x₁₄ = 20-x₃+x₁₀

подставим в целевую функцию:

L(X) = (60+M)x₁+(25+M)x₂+(140+M)x₃+(160)x₄+(-M)x₈+(-M)x₉+(-M)x₁₀+

+(-180M) x₁₁

Этап 3