Вопрос 4.

Евкли́дова геоме́трия (или элементарная геометрия) — это геометрия, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.).

Исходя из набора самоочевидных положений (аксиом) и пользуясь жесткой логикой, Евклид пришел к ряду важных результатов. Его выводы считались абсолютной истиной в применении к физическому миру на протяжении почти 2000 лет. Только в XIX в. было показано, что аксиомы Евклида не являются универсальными и верны не во всяких обстоятельствах

В «Началах» Евклида была дана следующая аксиоматика:

Аксиома принадлежности. Через любые две точки на плоскости можно провести прямую и притом только одну.

Аксиома порядка. Среди любых трёх точек, лежащих на прямой, есть не более одной точки, лежащей между двух других.

Аксиома равенства углов. Все прямые углы равны между собой.

Аксиома параллельных прямых. Через любую точку, лежащую вне прямой, можно провести другую прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

Неевклидова геометрия-это геометрия Лобачевского и сферическая геометрия(геометрия Римана.)

Геометрия Лобачевского строится на основе тех же аксиом, что и евклидова, за исключением только одной аксиомы о параллельных прямых. Именно, согласно аксиоме о параллельных евклидовой геометрии, через точку, не лежащую на данной прямой а, проходит только одна прямая, которая лежит в одной плоскости с прямой а и не пересекает эту прямую; в геометрии Лобачевского принимается, что таких прямых несколько (затем доказывается, что их бесконечно много). В геометрии Римана принимается аксиома: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит системе аксиом евклидовой геометрии с исключением аксиомы о параллельных.

Вопрос 5.

Множество-это исходное (аксиомотическое),поэтому и не определяемое понятие.

"Множество-это объединение в одно целое объектов хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью" Г.Кантор.

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств.

обычно изображается в виде трёх кругов с одинаковым радиусом.

Вопр.6

ДЕЙСТВИЯ С МНОЖЕСТВАМИ И СВОЙСТВА.

1.Объединение.

2.Пересечение.

3.Разность.

4.Симметрическая разность.

5.Декартово произведение множеств.

Свойства:

1.Коммуникативность.

2.Ассоциативность.

3.Дистрибутивность.

4.Множество не А.

Законы де Моргана:

1.не АUB=неАПнеВ

2.не АПВ=неАUнеВ

Вопрос 7.

Функция -это зависимость переменной у от переменной х,

при которой каждому значению переменной х

соответствует единственное значение перемен-

ной у.

Переменную х называют независимой переменной

или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной.

Все значения независимой переменной образу-

ют область определения функции. Все значения,

которые принимает зависимая переменная, образу-

ют область значений функции.

Существуют разные способы задания функций.

1. Аналитический способ. Аналитический способ - это наиболее часто встречающийся способ задания функции. Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. Например . Рассмотрим первый пример - . Здесь значению x = 1 соответствует , значению x = 3 соответствует и т. д. Функция может быть задана на разных частях множества X разными функциями. Например: Во всех ранее приведенных примерах аналитического способа задания, функция была задана явно. То есть, справа стояла переменная y, а справа формула от переменной х. Однако, при аналитическом способе задания, функция может быть задана и неявно. Например . Здесь, если мы задаем переменной x значение, то, чтобы найти значение переменной у (значение функции), мы должны решить уравнение. Например, для первой заданной функции при х = 3, будем решать уравнение: . То есть, значение функции при х = 3 равно -4/3. При аналитическом способе задания, функция может быть задана параметрически - это, когда х и у выражены через некоторый параметр t. Например, Здесь при t = 2, x = 2, y = 4. То есть, значение функции при х = 2 равно 4. 2. Графический способ. При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом . Пример: 3. Словесный способ. Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле. «Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число». 4. Табличный способ. Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y. Пример: Табличный способ задания функции очень удобен при обработке результатов исследований. Например, при выявлении зависимости между уровнем загрязнения окружающей среды и количеству людей, заболевших раком.

Вопр. 8.

Классификация ф-ций:

Для начала рассмотрим однозначные и многозначные. Если каждому значению аргумента соответствует одно значение функции, то она называется однозначной; если два или больше, - то многозначной (двузначной, трехзначной и т. д.). Когда особо не оговорено, что она многозначна, подразумевается, что - однозначна.

Также те, которые представленные формулами, подразделяются на явные и неявные. Явная функция у(х) задается формулой вида y=f(x), т.е. значение у вычисляется просто подстановкой х. Например, y=x^2+2x+1. Неявная функция у(х) задается уравнением вида f(x,y)=0, т.е. для вычисления ее значения надо решать уравнение.

Ещё бывают элементарные и неэлементарные. Последнее подразделение носит скорее исторический, чем математический характер. Каждая из основных элементарных функций представляет некоторое «действие» над аргументом (возведение в квадрат, извлечение кубического корня, логарифмирование, нахождение синуса и т. д.). Путем повторного выполнения этих действий, а также четырех основных операций арифметики (в ограниченном числе) получаются новые; они также причисляются к элементарным. Те, которые нельзя выразить указанным способом, считаются неэлементарными.

Существует всего пять типов элементарных функций:

1. Степенные

К этому типу относятся линейные, квадратичные, кубические,

Все они содержат выражения вида x^a

2. Показательные

Это функции вида y = ax.

3. Логарифмические

y = loga x.

4. Тригонометрические

В их формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.

5. Обратные тригонометрические.

Содержат arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

Элементарными они называются потому, что из них, как из элементов, получа-

ются все остальные, встречающиеся в школьном курсе. Например, y = x2

· ex _ про-

изведение квадратичной и показательной функций; y = sin (ax) _ сложная функция,

то есть комбинация двух функций _ показательной и тригонометрической.

Вопр. 9.

Применение математики к изучению законов природы и к использованию их в технике заставило ввести в математику понятие переменной величины, и в противоположность ей, понятие постоянной величины.

Переменные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса могут принимать различные значения.

Постоянные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса сохраняют неизменные значения.

Одни и теже величины в условиях одного вопроса могут быть постоянными, а в другом переменными.

Например Температура T кипения воды в большинстве физических вопросов — величина постоянная T=100°C. Однако в тех вопросах, где нужно считаться с изменением атмосферного давления, T величина переменная.

Различие постоянных и переменных величин особенно часто применяется в высшей математике. В элементарной математике основную роль играет разделение величин на известные и неизвестные. Последнее сохраняется и в высшей математике, но не играет там основной роли.

Переменные величины как правило обозначаются последними буквами латинского алфавита x, y, z. А постоянные — первыми a, b, c.

Предел функции.

Это такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел.

Постоянное число l называется пределом переменной xn, если оно обладает след.св-ми: какое бы малое положительное число е ни взять, все значения переменной xn, начиная с некоторого из них, будут удовлетворять неравенству l-E < xn < l+E

в практике вычисления пределов большое место заним. 1 и 2 замечат. пределы. lim x стрем к 0 sin x делить на x = 1 и lim x стрем к беск.(1+1/x)в степ.х=e e-иррац. числ.=2,7

lim это первые буквы лат. сл.limes, кот означ. предел.Слово лимес для обозн. предела впервые употребил Ньютон.символ lim ввел фр уч Люилье, а выр-е lim n стрем к беск. записал ГАмильтон.

Вопр.10.

Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

Понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин играет важную роль в математическом анализе. Многие задачи просто и легко решаются используя понятия бесконечно больших и малых величин.

Бесконечно малые.

Переменная называется бесконечно малой, если для любого существует такое значение , что каждое следующии за ним значение будет по абсолютной величине меньше .

Если - бесконечно малая то говорят, что стремится к нулю, и пишут: .

Бесконечно большие.

Переменная x называется бесконечно большой, если для всякого положительного числа c существует такое значение , что каждое следующее за ним x будет по абсолютной величине больше . Пишут:

Величина, обратная к бесконечно большой, есть величина бесконечно малая, и обратно

Вопр.11.

Производная - это изменение. Производная функции - изменение функции. А что такое функция? Это зависимость одной переменной (чаще y) от другой (чаще х). При изменении аргумента х меняется и значение функции y, а вот как быстро происходит изменение и показывает производная этой функции в конкретной точке.

Чем больше значение производной по абсолютной величине, тем быстрее происходит изменение функции:

рис. 1.

Если значение положительное - то происходит увеличение (рис.1).

К графику функции y=x² провели касательную в точке х=1. Уравнение этой прямой: y=2x-1, где 2 - угловой коэффициент прямой (угловой коэффициент касательной к графику функции).

рис. 2.

Если значение отрицательное - уменьшение (рис.2).

К графику функции y=x² провели касательную в точке х=-2. Уравнение этой прямой: y=-4x-4, где -4 - угловой коэффициент прямой (угловой коэффициент касательной к графику функции).

В этом заключается геометрический смысл производной.

Что касается физического смысла производной, то давайте вспомним что такое скорость и ускорение? Скорость - это расстояние делить на время, т.е. скорость - это расстояние, пройденное за единицу времени, значит скорость - первая производная от расстояния. Ускорение - это скорость делить на время, т.е. ускорение - это скорость в единицу времени, значит ускорение - первая производная от скорости. В этом заключается физический смысл производной. Вывод: первая производная функции - это отношение изменения функции к изменению ее аргумента. Правильно это изменение называть приращением, хотя по сути это одно и тоже.

Вопрос 11 Производной функции y=f(x) называется приращения функции в точке х к приращению аргумента, если приращение аргумента стремиться к 0.

Геометрический смысл- если к графику y=f(x) в точке х=а можно провести касательную непараллельную оси y, то f’(a)-угловой коэффициент касательной. K=f’(a);f’(a)=tg альфа f(x) Физический смысл- производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента. Если некоторый процесс протекает по закону s=s(t), то производная s’(t) выражает скорость протекания процесса в момент времени t.

s=s(t)-зависимость пройденного пути от времени.

v=s'(t)- скорость прямолинейного движения

a=v'(t)- ускорение прямолинейного движения.