44

Содержание

Введение 4

1 Описание поставленной задачи 5

1.1 Краткая характеристика численного метода 5

1.2 Анализ литературы и программ, патентный список 6

1.3 Формирование требований к программе 7

2 Проектирование схем алгоритмов 9

2.1 Разработка алгоритма головной программы 9

2.2 Проектирование алгоритма ввода исходных данных 11

2.3 Проектирование алгоритма вывода результатов 12

2.4 Проектирование алгоритма численного метода 14

3 Кодирование программы в среде программирования 15

3.1 Разработка структуры программы 15

3.2 Разработка интерфейса пользователя 15

3.3 Программирование ввода-вывода данных 21

4 Тестирование работоспособности программы 22

4.1 Описание аппаратной конфигурации для тестирования 22

4.2 Тестирование разработанной программы 22

4.3 Решение задачи в математической системе Mathcad 23

4.4 Решение задачи в математической системе MATLAB 23

4.5 Анализ результатов тестирования 24

5 Разработка гипертекстового варианта документа работы 25

Заключение 26

Список использованных источников 27

Приложение А 28

Приложение Б 38

Приложение В 39

Приложение Г 40

Приложение Д 42

Приложение Е 44

Введение

Информатика является основой базой для проведения научно-исследовательских и проектно-технических работ в современной промышленности. С помощью аппаратно-программных комплексов выполняются как научно-технические расчеты, так и информационный и патентный поиск данных по необходимой тематике. Согласно задания цель данной курсовой работы – разработка программы численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения явным многошаговым методом Нистрема третьего порядка точности в среде программирования Borland C++Builder для персонального компьютера.

1 Описание поставленной задачи

1.1 Краткая характеристика численного метода

Решением обыкновенного дифференциального уравнения в нормальной форме Коши согласно [1]:

dy / dx = (x, y) ( 1.1 )

является функция одной переменной

y = f(x), ( 1.2 )

удовлетворяющая начальным условиям - точке (x₀,y₀).

При использовании численного метода интегрирования решение уравнения (1.2) получается в виде массива точек (x_i,y_i), описывающих кривую, начинающуюся из точки начальных условий (x₀,y₀).

Различают три группы численных методов решения дифференциальных уравнений:

а) явные методы численного интегрирования;

б) неявные методы численного интегрирования;

в) методы прогноза и коррекции.

Метод Нистрема, как многошаговый, используются для определения каждой последующей точки не одно, а несколько значений функции в предыдущих точках интегрирования. В отличие от одношаговых методов многошаговые не обладают свойством самостартования, поэтому перед запуском вычислений необходимо рассчитать требуемое число первых точек искомой функции при помощи одношагового метода, а только потом по этим значениям реализовать процесс интегрирования многошаговым методом.

Исходные данные и результаты расчета при многошаговом методе интегрирования аналогичны данным одношаговых методов. Однако для определения текущих значений точек искомой функции в процессе интегрирования необходимо сформировать два одномерных массива: для аргумента - MX и функции - MY. В этих массивах первый (нулевой) элемент соответствует текущей искомой (n-ной) точке, первый - предыдущей (n-1)-вой, второй - (n-2)-ой точке, которая стоит впереди текущей на два шага интегрирования, третий - (n-3)-ей точке, отстоящей на три шага интегрирования, и так до последней точки, учитываемой конкретным методом. Метод использует формулы разложения в ряд Тейлора в окрестностях точки (xn,yn) для расчета каждого последующего значения искомой функции на сновании данных о ее предыдущих значениях y_n+1=y_n+hf’(x_n,y_n)+f’’(x_n,y_n)h²/2+...+f⁽ⁿ⁾(x_n,y_n)h_n/n!, ( 1.5 )

x _n+1 = x + h, ( 1.6 )

где xn,yn - значения аргумента и функции на предыдущем шаге

интегрирования;

x n+1,yn+1 - значения аргумента и функции на последующем шаге интегрирования;

h - величина шага интегрирования;

f(n)(xn, yn) - производная n-ой степени от ( 1.2 ).

В зависимости от степени производной, учитываемой численным методом, определяется степень точности метода.

Расчетными формулами метода Нистрема в зависимости от порядка точности являются:

y_n+2 = y_n + 2 * h * f(x_n+1,y_n+1),

y_n+3 = yn+1 + h * [7 * f(x_n+2,y_n+2) - 2*f(x_n+1,y_n+1) + f(xn,yn)] / 3,

y_n+4 = y_n+2 + h * [8*f(x_n+3,y_n+3)-5*f(x_n+2,y_n+2)+48*f(x_n+1,y_n+1)-

-f(x_n,y_n)]/4.

где (x_n,y_n)- функция первой производной (правой части выражения (1.1)).