principdalambera

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Черногоров Е.П.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

Курс лекций

ЧЕЛЯБИНСК

2010

1. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Рассмотрим движение материальной точки массой m в пространстве инерциальной системы отсчета Oxyz (рис. 1.1). Пусть точка движется под дей-

ствием активных сил, равнодействующая которых F . На точку наложены связи, N – равнодействующая сил реакций этих связей. Дифференциальное уравнение движения точки может быть записано в виде

m a = F+ N .

Это уравнение можно записать так

F + N +(−m a )= 0

Обозначим Ф = −ma , назовем эту силу – силой инерции точки.

Получим

F+ N+Ф= 0.

В таком случае можно сформулировать принцип Далам-

В каждый момент времени активные силы, действующие на материальную точку силы реакции связей вместе с силой инерции точки, образуют уравновешенную систему сил.

(F ,N ,Ф) 0.

Спомощью принципа Даламбера можно для решения задач динамики использовать методы статики. Но надо иметь в виду, что мы лишь составили дифференциальное уравнение, а решать его придется, как и раньше. Силу инерции можно записать в проекциях на оси неподвижной и подвижной системах отсчета

(рис. 1.1).

1

Понятие о силе инерции ввел еще Ньютон. Он рассуждал так: если точка движется под действием силы F = m a , то тело (или система тел), которая является источником этой силы. По закону равенства действия и противодействия ускоряемая точка будет воздействовать на ускоряющие ее тело с силой Ф= −m a . Эту силу Ньютон назвал системой инерции точки. Силы F и Ф равны и противоположны, но приложены к разным телам. Поэтому, складывать их мы не имеем права. Сила инерции точки на саму точку не действует. Для точки это фиктивная сила. Вот, если бы на точку кроме силы F действовала бы еще и сила Ф, то точка оставалась бы в покое.

Жан Лерон Даламбер получил своё имя по названию маленькой церкви, на ступени которой он был подброшен матерью. Жена бедного стекольщика заменила ему мать. Воспитатели Жана хотели, чтобы он был юристом или врачом, однако он стал математиком и философом.

Став знаменитостью и гордостью французской науки, Даламбер вознаградил стекольщика и его жену, следя за тем, чтобы они не оказались в нужде, и всегда с гордостью называл их своими родителями.

Жан Лерон Даламбер один из главных деятелей «Энциклопедии» и ее редакторов. С 1751 г. вместе с Д. Дидро участвовал в её создании (1-й том вышел в 1751—52 гг.). Написал введение к ней, являющееся одним из самых блестящих образцов «научного стиля». В философии Даламбер был сторонником сенсуализма и противником декартовской теории врожденных идей. Однако сенсуализм его не был последовательно материалистическим. По Даламберу, мышление не является свойством материи, а душа имеет независимое от материи суще-

2

ствование. В противоположность другим французским просветителям он утверждал, что нравственность не обусловлена общественной средой. Даламбер признавал бога как образующую субстанцию. Критика непоследовательного сенсуализма Даламбера была дана в работах Дидро. Основное сочинение в философии- «Элементы философии» (1759). Опираясь на систему Ф. Бэкона, классифицировал науки, положив начало современному понятию «гуманитарные науки».

В "Трактате о динамике" (1758 г.) излагает свой принцип рассмотрения механической системы со связями, сводящий любую задачу динамики к задаче равновесия. В 1754 г. избран во Французскую академию. В 1757 г. он покинул редакцию «Энциклопедии». В середине 1760-х гг. Даламбер был приглашён российской императрицей Екатериной II в качестве воспитателя наследника престола, но отказался принять приглашение.

Формулировки принципа Даламбера

Ш. Делоне (1814 – 1872) [2]:

«В каждый момент времени имеет место динамическое равновесие приложенных к материальной точке активных сил, реакций связей, а также силы инерции точки».

Формулировка А.Ю. Ишлинского [1]:

«Каждому абсолютному движению точки твердого тела или какой-либо механической совокупности всегда можно поставить соответствие такие же механические объекты, однако, лишенные движения и сохраняющие при тех же внешних и внутренних силах равновесие вследствие действия приложенных к ним некоторых дополнительных сил. Эти силы в точности равны даламберовым силам инерции в исходном абсолютном движении».

Принцип Даламбера наиболее целесообразно применять в том случае, когда нужно определить неизвестные силы, т.е. при решении первой задачи динамики.

Пример 1

Найти ускорение, с которым надо двигать гладкую наклонную плоскость горизонтально, чтобы шарик массой m , положенный на нее, не скатывался

Решение

Рис. 1.2

3

1.Рассмотрим движение шарика в пространстве неподвижного основания, полагая, что ускорение a клина выбрано таким, что шарик не скатывается.

2.Заданные силы: сила тяжести G; G = mg.

3.Связь: гладкая поверхность клина. Реакция поверхности N .

4.Движение шарика совершается под действием двух сил G и. N . Чтобы применить принцип Даламбера к решению задачи, введем в рассмотрение силу инерции шарика.

5.По принципу Даламбера (G,N ,Ф) 0.

6.Составим уравнения равновесия данной системы сил:

a = g tg α, N = m(g cos α+ g tg α sin α).

Пример 2

Сосуд в форме круглого цилиндра с вертикальной осью вращается вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью ω вместе с находящейся в ней жидкостью.

Найти форму свободной поверхности жидкости.

Рис. 1.3

Решение

1.Рассмотрим движение частицы жидкости M массой m на свободной поверхности как материальной точки и проведем через эту точку и через ось цилиндра плоскость, которая пересечет свободную поверхность жидкости по

4

линии BOA . Найдем уравнение этой линии по отношению к координатным осям.

2.Заданные силы: сила тяжести G; G = mg.

3.Связь: остальные частицы жидкости; если пренебречь вязкостью, то реакция

Nбудет направлена по нормам к поверхности жидкости в точке M .

4.Силы инерции: при равномерном вращении сосуда частица будет иметь нормальное ускорение, следовательно, сила инерции будет центробежной, направленной по радиусу r от оси вращения z .

Ф = mxv2 = m x ω2 ,

По принципу Даламбера (N ,G, Ф) 0.

5.Проецируя эти силы на касательную к AOB в точке M получим

m xω2 cos α−mg sin α = 0 ,

Отсюда получим:

поверхность жидкости представляет собою параболоид вращения вокруг оси z .

Пример 3

Шарик массой m , подвешенный на нити длиной l , представляет собой конический маятник, т.е. описывает окружность в горизонтальной плоскости, причем нить отклонена на угол ϕ. Найти этот угол, если угловая скорость вращения шарика равна ω.

5

Решение

1.Рассмотрим движение шарика относительно неподвижного основания.

2.Активная сила: P = m g .

3.Связь: нить, её реакция – N .

4.Введем силу инерции точки:

а) ускорение точки: a = a n an = ω2 l sin ϕ

5.По принципу Даламбера (P, N,Φ) 0.

6.Составим уравнения равновесия данной системы сил:

∑Fτ = 0 ,

∑Fn = N sin ϕ- mω2 l sin ϕ=0,

∑Fb = m g− N cosϕ= 0 N = cosm gϕ

Решая эти уравнения, получим:

cosm gϕ −mω2 l = 0 ω2 = l cosg ϕ.

2 ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

которой mk . Φk = −mk ak – сила инерции этой точки.

6

Принцип Даламбера для отдельной точки записывается в виде:

(Φk ,Fke ,Fki ) 0 .

ции частиц системы образуют уравновешенную систему сил.

Чтобы решить какую-либо задачу динамики с помощью принципа Даламбера нужно составить условия равновесия системы сил (2.1). Причем, поскольку главный вектор и главный момент внутренних сил равен нулю, то уравнение (2.1) можно записать в виде

({Fke}n , {Φk }n ) 0.

Пример 4.

Найти связь между угловой скоростью вращения стержня AB длиной l и массой m и углом отклонения его от вертикали ϕ.

Решение

1. Рассмотрим движение частиц d m

составляющих стержень в пространстве неподвижного основания.

2. Заданные силы: сила тяжести –

P;P = m g .

3.Связь: шарнир A. Его реак-

ция – RA . Рис. 2.2

7

4.Введем в рассмотрение силы инерции частиц стержня.

Частица d m = Ml d ξ, имеет ускорение

an =ω2 ξsin ϕ.

Следовательно, сила инерции частицы:

dΦ = Ml ω2ξ sin α d ξ.

5.Запишем принцип Даламбера для данной системы

(P,RA ,{dΦ}) 0.

Для решения задачи используем лишь одно условие равновесия:

3. ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ИНЕРЦИИ ЧАСТИЦ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Характеристиками действия системы сил на тело является главный вектор и главный момент данной системы сил относительно какого-либо центра A.

По принципу Даламбера имеем, для твердого тела

8

({dΦ},{Fke}n ) 0.

Действие произвольной системы сил {Fke} характеризуется главным век-

тором и главным моментом внешних сил относительно центра A – U Ae ,LeA . Действие сил инерции характеризуется главным вектором и главным моментом сил инерции UΦA ,LΦA .

Тогда в соответствии с аксиомой равновесия можем записать:

U Ae +UΦA = 0, LeA+ LΦA = 0

или

UΦA = -U Ae , LΦA = - LeA .

По теореме о количестве движения [Общие теоремы динамики] имеем:

Главный вектор сил инерции твердого тела равен взятому с обратным знаком произведению массы тела на ускорение центра масс.

По теореме о кинетическом моменте относительно неподвижного центра или центра масс, получим

если точка C является центром масс.

Главный момент сил инерции относительно неподвижного центра или центра масс равен взятой с обратным знаком производной кинетического момента относительно этого центра.

9