16. Составные отношения. Алгебра отношений.

Пусть R– бинарное отношение наM.

Составное отношение:R² = RoR={ (a, c): aM&cM&bM[aRb&bRc] }.

Ахтунг! Не путать с R² = RxR! Потому как элементыRxR– это пары пар, а вRoR– это просто пары.

Алгебра отношений.

Пусть заданы отношения RMxMиSMxM.

1. R  S = { (x, y): x, y  M & ( (x, y)  R v (x, y)  S ) }

x (R  S) y => xRy v xSy

2. R  S = { (x, y): x, y  M & ( (x, y)  R & (x, y)  S ) }

x (R  S) y => xRy & xSy

3. Обратное отношение:R^-1= { (y,x):x,yM& (x,y)R}

4. R  S = { (x, y): x, y  M & z  M [ xRz & zSy ] }

5. Транзитивное замыкание:

6. Рефлексивное замыкание:

17. Свойства отношений. Эквивалентность и классы эквивалентности по заданному отношению.

Свойства порождаются выполнением неких абстрактных ограничений. © Красюк. Это справедливо не только для данного билета. ;)

1. Рефлексивность. xM[ (x,x)R]

2. Антирефлексивность. неxM[ (x,x)R]

3. Симметричность. x, y  M [ (x, y)  R => (y, x)  R ]

4. Антисимметрич-ть. x, y  M [ (x, y)  R & (y, x)  R => x = y ]

5. Иррефлексивность. x  M [ (x, x)  R ] & y  M [(y, y)  R ]

6. Транзитивность. x, y, z  M [ (x, y)  R & (y, z)  R => (x, z)  R ]

– транзитивное замыкание б.о.R.

– рефлексивное замыкание б.о.R.

Ахтунг! Различие асимметричности и антисимметричности:

RR^-1=дляасимметричногоR

RR^-1=I_MдляантисимметричногоR

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности на множестве X, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Далее символом X обозначается множество, на котором задано отношение эквивалентности R.

Каждое подмножество A из X называется классом эквивалентности, если:

1) оно состоит из эквивалентных друг другу элементов и

2) если эквивалентен хотя бы одному элементу из , то.

(Пример: x, yN (x=y)_{mod 7}. d₁: (x)_{mod 7}=0. X₁={0,7,14,...}. d₂: (x)_{mod 7}=1. X₂={1,8,15,...}.X₁иX₂– классы эквивалентности, т.к. отношение(x=y)_{mod 7}явл. отношением эквивалентности.)

Система классов эквивалентности (например, система множеств X₁,X₂,...из предыдущего примера) называетсяфактор-множеством.

Теорема. Два класса эквивалентности либо совпадают, либо не пересекаются.

Доказательство. Пусть A и B – два класса эквивалентности из X. Допустим, что они пересекаются и c – общий элемент, то есть . Еслиx – произвольный элемент из A, то x~c. Поскольку , то и. Таким образом,. Аналогично доказывается, что. Итак,A = B. Теорема доказана.

18. Задача минимизации функций алгебры логики. Теоремы Квайна и Мак-Класски.

Минимальной формойбулевской функции называется такая форма, которая содержит количество символов, не превышающее количество символов в любой другой форме.

В общем случае минимальных форм может быть несколько.

Минимальную форму ищут в форме дизъюнкции простых импликант неизбыточной системы простых импликант. Для этого сначала определяют систему простых импликант исходной функции, а затем удаляют из неё избыточные элементы.

Для построения системы простых импликант используют теоремы Квайна и Мак-Класски или численную процедуру минимизации на гиперкубах. Эти методы основаны на склеивании элементов, являющихся ближайшими соседями.

Вспомогательные характеристики конституэнт единицы, используемые в теоремах Квайна и Мак-Класски:

1) | x_e| = – десятичное представление двоичного набора.

2) index(x_e) =

3) _lp=abs( |x_l| – |x_p| ) – разность

Теорема Квайна:Для того чтобы 2 конституэнты единицы склеивались необходимо и достаточно, чтобы:

1) | index (x_l ) - index (x_p )|=1

2) _lp = 2^k , kZ⁺

3) | x_l | > | x_p |  index (x_l ) > index (x_p )

Теорема Мак-Класски:

Необходимыми и достаточными условиями склеивания импликант произвольного уровня являются:

1) Равенство последовательностей разностей

2) Возможность склеивания младших конституэнт единицы в склеиваемых импликантах.