4. Способы задания множеств: порождающие и разрешающие процедуры.

Множество может быть задано 4-мя способами:

1) Перечислением элементовмножества (для конечных множеств).Пример: (a,b,c)

2) Графически(также для конечных множеств).Пример: множество истинности на гиперкубах, диаграммы Венна (множествоа изображаются замкнутыми кривыми произвольной формы; точки, лежащие внутри замкнутой кривой, могут рассматриваться как элементы соответствующего множества).

3) Порождающая функция. Используется для компактного задания элементов множества или в случае, если множество содержит бесконечное число элементов.

Пример:X: {x:x=2*n-1,nN} – множество нечётных чисел

В частном случае порождающая функция содержит операции над известными множествами

Пример:Z⁺=N{0}

4) Разрешающая функция. Функция, проверяющая элемент на принадлежность множеству.

Пример: X: {xZ⁺,x< 10}

5. Конструктивные аксиомы общей теории множеств.

4-ая аксиома теории множеств:

1. – Курадовский, Мостовой

- семейство подмножеств множества

2. – Бурбаки

– множество

– элемент коллективного подможества

3. – Бар, Мендельсон

– множество

– семейство подмножеств

– элемент семейства подмножеств

6. Покрытия, разбиения, множество-степень, классы эквивалентности. Понятие фактор-множества.

Возьмём для примера множество .

Множество всех подмножеств данного множества называется степенью множества (множество-степень). Число этих подмножеств. (доказывается мат индукцией)

Например: .

Под покрытиеммножествапонимают такие подмножества, которые при объединении совпадают с. Например:,,тогда. Т.е.– блоки покрытия.

Система множеств, в которой все попарные пересечения множеств пусты, называется разбиениеммножества. Каждый элементвходит в один и только один класс разбиения. Т.еиз предыдущего примера не являются разбиением.

Разбиением будут (например): ,,.

При разбиении множества на подмножества используют понятие эквивалентности элементов. Для этого определяют, что значит «элемент x эквивалентен элементу y», после чего объединяют эквивалентные элементы в одно подмножество. При разумном понятии эквивалентности данное множество разбивается на взаимно непересекающиеся подмножества, объединение которых есть все множество.

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности на множестве X, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Далее символом X обозначается множество, на котором задано отношение эквивалентности R.

Каждое подмножество A из X называется классом эквивалентности, если:

1) оно состоит из эквивалентных друг другу элементов и

2) если эквивалентен хотя бы одному элементу из , то.

Теорема. Два класса эквивалентности либо совпадают, либо не пересекаются.

Доказательство. Пусть A и B – два класса эквивалентности из X. Допустим, что они пересекаются и c – общий элемент, то есть . Еслиx – произвольный элемент из A, то x~c. Поскольку , то и. Таким образом,. Аналогично доказывается, что. Итак,A = B. Теорема доказана.

Фактор-множества

Пусть X – множество и R – отношение эквивалентности на нем. Из свойства транзитивности отношения эквивалентности следует, что любой класс эквивалентности является множеством всех элементов, эквивалентных произвольному элементу из этого класса. Таким образом, из теоремы следует, что отношение эквивалентности позволяет данное множество X представить в виде объединения взаимно непересекающихся классов эквивалентности.

Совокупность всех классов эквивалентности называется фактор-множеством. Оно обозначается символом X/R.

Каждый элемент x из множества X полностью определяет класс эквивалентности, его содержащий, который обозначается символом , так что(и, если и только еслиx~y). Элемент x называется представителем класса A, если .