13. Алгебра кортежей. Голова, префикс, подпоследовательность кортежа.

1. – мощность

2. «+», «^», «.» –конкатенация.

s . t– конкатенация двух кортежей

Для любого кортежа sсправедливо: < > .s=s. < > =s

3. –сужениекортежапо.– алфавит (множество)

– вtостаются только те элементы, которые есть вА; определяется новый домен для кортежа.

[] относительно операции сужения пустой кортеж есть 0. Хмм…

(s . t)– дистрибутивность операции сужения относительно конкатенации

если

если

4. Головакортежа – его первый элемент. Обозн.: s_o = <x, y, z>_o = x.

Хвост– оставшаяся после удаления головы часть кортежа. Обозн.: s’ = <x, y, z>’ = <y, z>

Пример: t = < t_o . t’ > для t < >.

5. Префикссвязан с отношением порядка над кортежами.

Пусть s– некоторый кортеж, равный начальному отрезку кортежаt;

s  t   u: [ s . u = t ]

sназывается префиксомtт. и т. т., когдаu, такой, что конкатенацияs . uдаётt.

Если s t, то они связаны отношением включения.

Свойства этого отношения:

1. < >  s для s

2. ss(рефлексивность)

3. s  t & t  s => s = t(антисимметричность)

(<x> . s)  t  (t  < >) & (x = t_o) & (s  t’)

u s t [ s  u & t  u => s  t  t  s ]

6. Подпоследовательность.

s b t–sявл. подпоследовательностьюt.

t s  u, v  A* [ t = u . s . v => s b t ]

14. Соответствия: определения, свойства соответствий. Понятия функции и отображения.

A,B– некоторые произвольные множества

GA×B–соответствиеизAвB

Область определениясоответствия:Dom GA

Область значенийсоответствия:Im GB

im_G a = { b: b  B & (a, b)  G }–образэлементаaвВпри соответствииG

coim_G b = { a: aA & (a, b)G }–прообразэлементаbвАпри соответствииG

Соответствие GA×Bназываетсявзаимнооднозначным, если выполняются условия полноты и единственности.

1. Условия полноты:

1) Dom G = A. Тогда соответствиеполностью (всюду) определено.

2) Im G = B. Тогда соответствиесюръективное.

2. Условия единственности:

1)a  A [ |im_G a| = 1 ]. Тогда соответствие –функциональное(образом любого элемента является единственный элемент)

2)bB[|coim_G b| = 1]

Функциейназывается функциональное соответствие.

Каждому элементу аиз своей области определения функция ставит в соответствие единственный элементbиз области значений. Это записывается всем известной формулойf(a) = b.

Отображениемназывается всюду определенное функциональное соответствие.

G: A→B– отображение.

//RA×A– бинарное отношение

//G A × A × ... ×A– многоместное отношение

15. Отношения: основные определения, способы задания. Отношения тождества, универсальное и обратное отношение.

Подмножество называется-местнымотношениемна множестве. Говорят, чтонаходится в отношении, если. Одноместное отношение – это просто подмножество. Такие отношения называютпризнаками:обладает признаком, еслии.

Свойства одноместных отношений — это свойства подмножеств М; поэтому для случаяn=1 термин «отношение» употребляется редко.

Наиболее часто встречающимися и хорошо изученными являются двухместные, или бинарные, отношения. Еслиa, b находятся в отношенииR, это часто записывается какaRb.

Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств (например, список пар, для которых данное отношение выполняется). Отношения на конечных множествах обычно задаются списком или матрицей. Матрица бинарного отношения на множестве — это квадратная матрицаСпорядкат, в которой элемент, стоящий на пересеченииi-й строки иj-го столбца, определяется следующим образом:

Для любого множества М отношениеЕ, заданное матрицей, в которой по главной диагонали стоят единицы, а в остальных местах — нули, называетсяотношением равенства (тождественности) наМ.

Поскольку отношения на Мзадаются подмножествамиМ², для них можно определить те же операции, что и над множествами.

Отношение называется обратным к отношениюR (обозначение), если тогда и только тогда, когда. Из определения непосредственно следует, что.

По Красюку:

1. Обратное отношение

– отношение обратноеR

2. Тождественное отношение

– рефлексивность

3. Универсальное отношение