7. Алгебра множеств.

Объединением множествAиB(AB) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множествAиB. Символически это можно записать так:AB= {x:xAилиxB}.

Аналогично определяется объединение произвольной (в том числе и бесконечной) совокупности множеств.

Пересечением множеств AиB(обозначениеAB) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат иA, иB:

A  B = {x: x  A & x  B}

Аналогично определяется пересечение произвольной (в том числе и бесконечной) совокупности множеств.

Разностью множествAиB(обозначениеA\B) называется множество всех тех и только тех элементовA, которые не содержатся вB:

A \ B = {x: x  A & x  B}

В отличие от двух предыдущих операций разность, во-первых, двуместна, а во-вторых, некоммутативна:A\B≠B\A. ЕслиA\B=, тоAB.

Симметрической разностьюмножествАиВназывается разность объединения и пересечения множествАиВ, и обозначаетсяАВ, таким образом

А  В = {x: x  (A  B) & x  (A  B)} = В  A

Прямым произведением множеств А и В (обозначение А х В) называется множество всех пар (a, b), таких, что a  A, b  B.

Аналогично прямым произведением множеств A₁, ..., A_n называется множество всех векторов (a₁, ..., a_n), таких, что a_i  A_i.

Если все рассматриваемые множества являются подмножеством некоторого «универсального» множества U, то может быть определена операция дополнения.

Дополнением (до U) множества A(обозначение) называется множество всех элементов, не принадлежащихA(но принадлежащихU):=U \A. МножествоUдолжно быть задано очевидно из контекста; в противном случае проще использоватьU\A.

8. Понятие комплекта. Основные определения и характеристики комплектов. Способы записи комплектов.

Теория комплектов явл. логическим обобщением теории множеств. Комплект, подобно множеству, есть набор элементов из некоторой области; однако в отличие от множества комплекты допускают присутствие нескольких экземпляров 1-го и того же элемента. Как и во множествах, порядок записи элементов в комплекте не важен.

Если в теории множеств основным понятиемявл. отношение включения, то в теории комплектов этоф-ция числа экземпляров:#(x, B).

Членство.Элементхявл. членом комплектаВ, если#(x, B) > 0. ОбозначаетсяxB. Если же#(x, B) = 0, тоxВ.

Мощность. Мощность есть общее число экземпляров элементов в комплекте: .

Включение и равенство.КомплектАесть подкомплект комплектаВ(обозн.А В), если#(x, А)  #(x, B)для всехх. Два комплекта равны, если#(x, А) = #(x, B)для всехх. КомплектАстрого включён в комплектВ, еслиА ВиА В. Ахтунг!!! Из строго включения отнюдь не следует, что#(x, А) < #(x, B), хотя |A| < |B|.

Способы записи комплектов:

1. В = { a, a, a, a, b, b, b, c }.

2. В = { n_B(x)  x: x  S, n_B(x)  Z⁺ }

3. B = { x^Bx: x  S, B_x = n_B(x)  Z⁺ }

S– этодомен, т.е. конечный алфавит символов: множество, над которым задаётся комплект.

Пространство комплектов.Определим областьSкак множество элементов, из которых составляются комплекты (домен). Пространство комплектовSⁿесть множество всех таких комплектов, что их элементы принадлежатS, и ни один элемент не входит в комплект болееnраз.

Множество S^есть множество всех комплектов над доменомSбез каких-л. ограничений на число экземпляров элемента в комплекте.

Характеристическая ф-ция комплекта.

Из приведённого ниже следует, что комплект может и не включать всесимволы домена:

S B_i  Sⁿ x  B_i [ 0  #(x, B)  n ].

Основные характеристики комплектов, не описанные ранее:

/В/ =dim B = – размерность комплекта.

supp B = { x: xS&#(x, B) > 0 }– опроное множество комплекта.

htg B = max( #(x_i, B) )– высота комплекта.

x* B: #(x*, B) = htg B– пиковое значение комплекта.