2.9. Некоторые теоремы теории £

Множество теорем теории £ бесконечно. Рассмотрим некоторые из них.

1. (закон двойного отрицания).

2. (закон двойного отрицания).

3. (из ложного что угодно).

4. (закон де Моргана)

5. (закон де Моргана)

и т. д.

(Вывод законов см. Ф.А. Новиков “Дискретная математика для программистов”, стр.114).

Теорема. Теоремами теории £ являются только общезначимые формулы.

Следствие. Теория £ формально непротиворечива.

Выводы.

1. Можно задать некоторые правила преобразования формул, которые обладают свойством: при применении к общезначимым формулам они дают в результате общезначимые формулы. Такими правилами являются правила вывода.

2. Можно задать конечное число общезначимых формул таких, что любая общезначимая формула может быть получена из них с помощью правил вывода.

Тема 3. Логика и исчисление предикатов

Логика высказываний – очень узкая логическая теория. Есть такие типы логических рассуждений, которые не могут быть осуществлены в рамках логики высказываний. Например:

1. Всякий друг Ивана есть друг Петра. Павел не друг Ивана, следовательно, Павел не друг Петра.

2. Простое число 2 – четное, следовательно, существуют четные простые числа.

Корректность таких выводов базируется не только на истинности соответствующих предложений, но и на смысле слов «всякий» и «существуют». Чтобы сделать более понятной структуру сложных высказываний используют специальный язык – язык предикатов первого порядка.

3.1. Предикаты

Рассмотрим предложения, зависящие от параметров:

Х – четное число.

X<Y

X+Y=Z

X,Y – братья.

Если заменить переменные X, Y, Z некоторыми конкретными значениями, то мы получим определенные высказывания, которые могут быть истинными или ложными.

Например:

3 – четное число.

2<5

2+3=5

Иван и Павел – братья.

Предложения такого рода называются предикатами.

Предикат Р(х₁,…,х_n) – функция, переменные которой принимают значения из некоторого множества M, а сама функция принимает значение истина (1) или ложь (0).

Р(х₁,…,х_n) : M_n{0,1}

Высказывания - это 0-местные предикаты. Над предикатами выполняются логические операции, в результате чего получаются новые предикаты.

С каждым предикатом связано число, которое называется местностью или арностью предиката (количество переменных).

Язык предикатов – наиболее приближенный к естественным языкам формальный математический язык.

Примеры:

1. Р(х) – х делится на 2

Q(x) – x делится на 3

P(x)&Q(x) – x делится на 2 и 3, т. е. определен предикат делимости на 6.

2. S(x,y) – x равно y.

S(x,y)& S(y,z)S(x,z)

Кроме операций логики высказываний, к предикатам можно применять операции связывания кванторами.

1. Квантор общности ( ).

- высказывание истинное для каждого , т. е. это высказывание не зависит от x_i.

2. Квантор существования ( ).

- высказывание истинно, если существует , для которого это высказывание истинно.

Для конечных множеств операции навешивания кванторов можно выразить через операции & и .

Пусть

На языке предикатов можно составить более сложные высказывания, чем на языке логики высказываний.