4.5. Закон изменения полной энергии

Теорема живых сил, речь о которой шла в предыдущем параграфе, представляет собой закон изменения кинетической энергии системы материальных точек, являющийся следствием законов механики. Однако существует другой, более фундаментальный закон физики – закон об изменении полной энергии тела, составляющий так называемое первое начало термодинамики. Этот закон гласит: изменение полной энергии любого тела (твердого, жидкого, газообразного и т.д.) равно сумме работы внешних сил и внешнему притоку тепла. Иными словами, закон об изменении полной энергии тела утверждает, что изменить эту энергию можно только за счет притока (или оттока) энергии извне - либо в виде работы внешних сил, либо в виде внешнего тепла, либо того и другого вместе взятых. В случае если работа внешних сил и приток внешнего тепла отсутствуют, полная энергия тела не изменяется. Последнее утверждение известно как закон сохранения полной энергии тела.

Относя притоки энергии к единице времени, можно говорить об интенсивности притока внешнего тепла и о мощности внешних сил:

(4.53)

где плотность внутренней энергии - внутренняя энергия единицы массы среды, ; интенсивность притока внешнего тепла (Вт). Символ используется здесь, чтобы подчеркнуть, что в общем случае величины и не являются полными дифференциалами каких-либо функций; функций состояния и не существует.

Уравнение (4.53), представляющее выражение 1-го начала термодинамики, читается так: скорость изменения полной энергии системы материальных частиц, составляющих подвижный объем , равна интенсивности притока внешнего тепла, сложенной с суммарной мощностью всех внешних сил. Важно подчеркнуть, что в этот закон входят только внешние притоки энергии.

Если из уравнения (4.53) исключить изменение кинетической энергии с помощью уравнения (4.3), то получится уравнение, называемое уравнением притока тепла:

(4.54)

В это уравнение, определяющее скорость изменения внутренней энергии объема жидкости V(t), входят интенсивность внешнего притока тепла и мощность внутренних сил.

Преобразуя левую часть уравнения (4.54) с помощью основной формулы (4.10), получаем:

. (4.55)

Для несжимаемой жидкости , поэтому уравнение (4.55) имеет вид:

. (4.56)

Если рассматривать к тому же установившееся течение жидкости, для которого , то уравнение упрощается еще больше:

. (4.57)

Распределение температуры в трубопроводе. Формула в.Г.Шухова.

Применим полученное уравнение (4.57) для расчета распределение температуры по длине участка трубопровода с постоянным диаметром при установившемся неизотермическом течении несжимаемой жидкости. Выберем контрольную поверхность , состоящую из трех частей: поперечное сечение трубы ; поперечное сечение трубы ; внутренняя поверхность трубы на участке , причем (рис. 4.14).

Рис. 4.14. Неизотермическое установившееся течение

жидкости в трубопроводе

Поскольку на : , на : и на : , то из (4.54) получаем:

.

Далее имеем:

. (4.58)

Примем следующие допущения:

а) Внутренняя энергия жидкости с точностью до постоянной величины определяется равенством

,

где — теплоемкость жидкости при постоянном объеме ( ); — абсолютная температура;

б) Приток внешнего тепла происходит только через поверхность трубы и определяется интегралом

,

где секундный поток тепла через единицу поверхности трубы, ( ).

в) Секундный поток тепла пропорционален разности температур жидкости в трубе и окружающей среды (формула Ньютона), так что

. (4.59)

Коэффициент , входящий в формулу (4.59), называется коэффициентом теплопередачи. Знак минус показывает, что тепло передаются в направлении от большей температуры к меньшей: , если (отбор тепла от жидкости в трубе); , если (приток тепла к жидкости в трубе);

г) Суммарная мощность диссипативных сил вязкого внутреннего трения между сечениями и можно представить как произведение мощности этих сил в единице массы жидкости (удельной мощности) и массы жидкости :

.

Используя принятые допущения, получаем из уравнения (4.58) уравнение

,

которое после деления на дает дифференциальное уравнение для температуры :

. (4.60)

Уравнение (4.60) может быть проинтегрировано в случае, если принять, что , и есть постоянные величины. Кроме того,

Если в начальном сечении трубопровода температура жидкости равна , то решение этого уравнения имеет вид:

, (4.61)

где внутренний диаметр трубопровода.

Формула (4.61) носит название формула В. Г. Шухова. (В.Г.Шухов - выдающийся русский инженер, архитектор, изобретатель и ученый, 1853-1939). Первое слагаемое в правой части этой формулы определяет изменение температуры жидкости за счет теплообмена с окружающей средой, второе слагаемое связано с нагреванием жидкости за счет диссипации механической энергии.

Вводя параметр :

,

имеющий размерность температуры и отражающий переход механической энергии в тепло, формулу В.Г.Шухова можно записать проще:

. (4.62)

Эта формула показывает, что выделение тепла при трении слоев жидкости друг относительно друга эквивалентно увеличению наружной температуры на величину .

Распределение температуры по длине участка трубопровода показано на рис. 4.16 [ ]. Из графиков на этом рисунке видно, что в случае жидкость, текущая в трубопроводе, охлаждается, наоборот, в случае, когда , жидкость нагревается. В обоих случаях .

Т

T ₀

Рис.4.16. Распределение температуры

по длине участка трубопровода

Температуру жидкости в конце участка трубопровода можно вычислить с помощью решения (4.62), положив в нем . Имеем:

, (4.63)

где длина участка.