6.4. Размерно-зависимые и размерно-независимые величины

Прежде, чем перейти к доказательству основной теоремы теории размерности, введем понятия о размерно-зависимых и размерно-независимых величинах.

Говорят, что величина a размерно-зависима от величин , если размерность величины a выражается через размерности этих величин по формуле

, (6.6)

т.е. существуют такие действительные числа , ,… , что равенство (6.6) выполняется. Если же таких чисел не существует, то величина a размерно-независима от величин .

Например, время t, длина l, масса m - размерно-независимые величины. Система величин: скорость, динамическая вязкость, время — также система размерно-независимых величин. Это ясно, например, из того, что в размерность вязкости входит масса, и поэтому она не может выражаться через скорость и время. Время и скорость также не могут выражаться по размерности одна через другую, поскольку в размерность скорости входит длина. Можно привести еще много примеров систем размерно-независимых величин.

Приведем пример размерно-зависимых величин. Например, давление - это величина, размерно-зависимая от динамической вязкости, ускорения свободного падения и длины. Действительно, размерность давления можно выразить через размерности трех остальных величин – вязкости, ускорения и длины. Для этого запишем размерности всех величин через размерности основных единиц:

Будем искать такие числа , и , чтобы выполнялось равенство

.

Подставив в это равенство размерности выбранных единиц через размерности основных единиц, получим

.

Приравняв показатели степеней одинаковых размерностей в правой и левой частях последнего равенства, придем к системе трех линейных уравнений

для определения трех величин , и . Эта система имеет единственное решение: . Таким образом, находим

,

что и доказывает утверждение: давление размерно-зависимо от вязкости, ускорения и длины.

Если имеется система размерных величин , то из нее всегда можно выделить подсистему, содержащую максимальное число размерно-независимых величин: , где ≤ . Делается это так. Берется величина a₁. Если она — размерная величина, то к ней добавляется величина a₂. Если a₂ имеет размерность отличную от размерности a₁ то система {a₁,a₂} состоит из размерно-независимых величин. После этого к системе величин {a₁,a₂} добавляется величина a₃. Если размерность a₃ выражается по формуле размерности через размерности величин a₁ и a₂, то берется величина a₄. Если же размерность a₃ не выражается через размерности величин a₁ и a₂, то система { } представляет собой систему размерно-независимых величин. Таким образом, перебирав все величины, входящие в систему , построим подсистему, содержащую максимальное число размерно-независимых величин.

Заметим, что если размерности всех величин выражаются через размерности L, T и M, то в такой системе имеется не более трех размерно-независимых параметров.