3. Анализ и выявление тенденций динамики численности студентов за 7 лет
В статистической практике выявления основной тенденции развития производства чаще всего используется аналитическое выравнивание. Этот метод состоит в отыскании аналитической формулы прямой или кривой, которая наиболее точно отражала бы основную тенденцию изменения уровней в течение периода. Обоснование выбора формы уравнения для выравнивания представляет самостоятельную важную задачу анализа ряда динамики.
Используя данные о численности студентов в высших учебных заведениях за 1993-2004гг. по России в целом, проведем выравнивание ряда динамики посредством построения систем: для прямой, для параболы 2-го порядка и для экспоненты.
Для линейного тренда нормальные уравнения МНК имеет вид:
ỹ=a+bt
(1)
Нормальные
уравнения МНК для параболы 2-го порядка
имеют следующий вид:
(2)
Нормальные уравнения МНК для экспоненты имеют следующий вид:
(3)
Таблица 1 - Расчет параметров трендов
|
Год |
Уровни
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1993/94 1995/96 2000/01 2001/02 2002/03 2003/04 2004/05 |
2613 2791 4742 5427 5948 6456 6884 |
-5 -3 -1 0 1 3 5 |
-13065 -8373 -4742 0 5948 19368 34420
|
25 9 1 0 1 9 25 |
-125 -27 -1 0 1 27 125 |
65325 25119 4742 0 5948 58104 172100 |
625 81 1 0 1 81 625 |
7,868 7,934 8,464 8,599 8,690 8,772 8,836 |
-39,34 -23,80 -8,46 0 8,69 26,32 44,18 |
|
Итого |
34861 |
- |
33556 |
70 |
- |
331338 |
1414 |
59,163 |
7,59 |
Согласно формуле (1) параметры линейного тренда равны: a=34861/7=4980; b=33556/70=479,4. Уравнение линейного тренда имеет вид:
=
4980+479,4t
,
где t=0 в 2001/02 учебном году. Это означает, что средний фактический и выровненный уровень, отнесенный к середине периода, т.е. к 2001/02 г., равен 4980 тыс. студентов, а среднегодовой прирост составляет 479,4 тыс. студента в год.
Параметры параболического тренда согласно (2) равны: b=479,4; a=5222; c=-24,2. Уравнение параболического тренда имеет вид:
=
5222+479,4t-24,2
,
t=0 в 2001/02 г. Это означает, что абсолютный прирост численности студентов замедляется. Сам же абсолютный прирост уже не является константой параболического тренда, а является средней величиной за период. В год, принятый за начало отсчета, т.е. 2001/02 учебный год, тренд проходит через точку с ординатой 5222 тыс. студентов. Свободный член параболического тренда не является средним уровнем за период.
Параметры экспоненциального тренда вычисляются по формуле (3): ln a =59,163/7=8,4518; потенцируя, получаем: a=2824; ln k=7,59/70=0,1084; потенцируя получаем: k=1,02628. Уравнение экспоненциального тренда имеет вид:
=
-
Это означает, что среднегодовой темп роста численности студентов за период составил 102,63%. В точке, принятой за начало отсчета, тренд проходит точку с ординатой 2824 тыс. студентов.