2. Рівняння, яке не містить явно незалежної змінної.

Нехай маємо рівняння вигляду

. (2.3.3)

Зробимо заміну , де нова невідома функція, а нова незалежна змінна. Знайдемо похідні .

,

.

Зауважимо, що в цих рівностях максимальний порядок похідної функції на одиницю менший, ніж порядок похідної функції . Позначимо . Тоді рівняння (2.3.3) набуває вигляду

.

Ми понизили порядок рівняння на одиницю. Нехай загальний розв’язок цього рівняння має вигляд

.

Врахувавши заміну, одержуємо

.

Це є рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними, тому

.

Звідки одержуємо загальний інтеграл рівняння (2.3.3)

.

Приклад 2.

.

Нехай . Тоді

.

Звідси або і , або . В останньому рівнянні відокремимо змінні

.

Щоби проінтегрувати функцію, яка знаходиться у правій частині рівності, розкладемо її на прості дроби

,

,

.

Тому

,

.

Звідки одержуємо загальний інтеграл вихідного рівняння

.

3. Рівняння однорідні стосовно невідомої функції та її похідних.

Так називається рівняння

, (2.3.4)

в якому функція є однорідною функцією стосовно , тобто при будь-якому справедлива рівність

.

Введемо нову невідому функцію , поклавши . Тоді

, .

У загальному випадку . Тому рівняння (2.3.4) набуває вигляду

.

Скориставшись однорідністю функції , це рівняння можемо переписати так:

.

Скоротивши на , одержимо рівняння го порядку стосовно функції .

Якщо ми зможемо знайти загальний розв’язок одержаного рівняння у вигляді

,

то, замінюючи на матимемо рівняння

,

звідки

.

Це і є загальний розв’язок рівняння (2.3.4).

Приклад 3

.

Зробимо заміну . Тоді це рівняння перепишеться так:

.

Зрозуміло, що увійде в загальний розв’язок.. Скоротивши на , одержимо рівняння Бернуллі

.

Поділимо на .

.

Зробимо заміну . Тоді . Одержуємо лінійне рівняння

,

або

, .

Для знаходження треба розв’язати рівняння з відокремлюваними змінними

.

Інтегруємо

,

.

При діленні на ми втратили розв’язок . Звідки , тобто .

4. Узагальнені однорідні рівняння.

Знову розглянемо рівняння (2.3.4). Нехай в цьому рівнянні ліва частина стає однорідною функцією усіх своїх аргументів, якщо вважати відповідно величинами першого, гоб го, …, го виміру. Таке рівняння називають узагальненим однорідним. Функція задовольняє умову

. (2.3.5)

Зробимо заміну незалежної змінної та невідомої функції

.

Виразимо похідні функції за змінною через похідні функції за змінною .

.

.

Продовжуючи цей процес, ми одержуємо

.

Узагальнене однорідне рівняння запишиться так:

.

Використовуючи умову (2.3.5), винесемо за дужки множник і скоротимо на нього. Одержимо рівняння

.

Це рівняння не залежить явно від змінної , тому його порядок можна понизити на одиницю заміною .

Приклад 4.

.

Знайдемо число . Прирівнюємо виміри усіх членів правої частини.

.

Залишається одне рівняння

.

Звідки . Отже, це рівняння є узагальненим однорідним рівнянням.

Зробимо заміну

.

Тоді

.

Підставляємо ці вирази у рівняння.

або

.

Це рівняння не містить незалежної змінної , тому приймемо

, .

Отримуємо рівняння .Отож, або , або .

З першого рівняння одержуємо . Звідки . З другого – , тобто . Тому вихідне рівняння має сім’ю розв’язків .

Запишемо перше рівняння у вигляді

.

Відокремлюємо змінні

.

Первісна лівої частини залежить від сталої . Якщо , то

або .

Якщо , то

або .

Якщо , то

або .

Повертаючись до змінних та , одержимо загальний розв’язок вихідного рівняння

,

.

, .