2.2. Рівняння вищих порядків, які інтегруються в квадратурах.

1. Розглянемо рівняння

. (2.2.1)

Це рівняння легко інтегрується в квадратурах. Послідовними інтеграціями одержуємо

………………………………………………………………

.

Це є загальний розв’язок рівняння (2.2.1). З нього можна одержати будь-який частинний розв’язок за рахунок підбору сталих .

Якщо задане рівняння вигляду

, (2.2.2)

то розв’язавши його стосовно , ми одержимо рівняння вигляду (2.2.1), і всі попередні міркування залишаються в силі. Але іноді вдається розв’язати це рівняння лише стосовно змінної або, в більш загальному випадку, виразити та як функції параметра . Тоді інтеграція рівняння (2.2.2) може бути зведена до квадратур. Нехай параметричне представлення рівняння (2.2.2) має вигляд

Тобто

.

Оскільки звідки , то

.

Тоді

,

………………………………………………………………..

.

В результаті одержуємо загальний розв’язок в параметричній формі

2. Тепер розглянемо рівняння

. (2.2.3)

Спочатку розглянемо випадок, коли це рівняння можна розв’язати стосовно

. (2.2.4)

Зробимо заміну . Тоді рівняння (2.2.4) приймає вигляд . Це рівняння з відокремлюваними змінними, тому

.

Припустимо, що це співвідношення можна розв’язати стосовно , тобто

.

Замінюючи його значенням , одержимо рівняння

.

При інтеграції цього рівняння одержимо ще штук довільних сталих, тобто

.

Якщо рівняння (2.2.3) не розв’язується в елементарних функціях стосовно , але ми маємо параметричне представлення цього рівняння

,

то співвідношення , або , дає нам . Звідки

.

Далі знаходимо послідовно

,

,

.

Тобто ми одержуємо параметричне представлення загального розв’язку, який залежить від параметра і довільних сталих .

3. Рівняння вигляду

(2.2.5)

також можна розв’язати в квадратурах.

Зробимо заміну . Тоді рівняння (2.2.5) зводиться до рівняння другого порядку

.

Якщо це рівняння розв’язується стосовно , тобто має вигляд

, (2.2.6)

то один з методів його інтегрування такий: помноживши обидві частини на , одержимо

,

або в диференціалах

звідки

.

Останнє рівняння можна розв’язати стосовно похідної і відокремити змінні

.

Тепер можемо знайти загальний інтеграл рівняння (2.2.6)

.

Якщо замінити на , то цей інтеграл приймає вигляд

.

Це рівняння вигляду (2.2.2). Воно інтегрується в квадратурах, і при цій інтеграції одержимо ще штук довільних сталих, і ми матимемо загальний інтеграл рівняння (2.2.5).

Якщо рівняння (2.2.5) не розв’язується стосовно , але маємо його параметричне представлення

,

то діємо так. Маємо дві рівності

.

виключивши , одержимо

,

звідки

.

Інтегруванням знаходимо , отож

.

Маючи параметричне представлення і , ми звели задачу до вже дослідженого випадку. Даль ніші інтеграції дадуть ще штук довільних сталих.

2.3. Рівняння, які допускають пониження порядку.

1.Рівняння, в які не входять явно шукана функція та її молодші похідні.

Розглянемо рівняння

, (2.3.1)

причому похідна го порядку обовязково наявна у рівнянні та . Поклавши , ми одержимо рівняння порядку

. (2.3.2)

Отже, ми понизили порядок рівняння (2.3.1) на одиниць. Якщо , то таке рівняння ми вже розглядали, воно інтегрується в квадратурах.. Припустимо, що при ми знайшли загальний розв’язок рівняння (2.3.2). Тоді, враховуючи заміну, одержуємо рівняння

,

розглянутого вище типу. Інтегруючи це рівняння раз, одержимо загальний розв’язок рівняння (2.3.2).

Приклад 1.

.

Покладемо . Тоді одержимо або .

Це рівняння Клеро. Його загальний розв’язок складається з сім’ї функцій та особливого розв’язку . Тоді та , а загальний розв’язок вихідного рівняння матиме вигляд

, .