11. Криві другого порядку: еліпс.

Еліпсом називають геометричне місце точок площини суми відстаней кожної з яких до двох заданих точок цієї площини, що називають фокусами. Є величина стала.

F₁,F₂ – фокуси; F_1,2,B_1,2 – вершини еліпса;A₁A₂ – велика вісь еліпса; B₁B₂ – мала вісь еліпса;F₁F₂ – відстань між фокусами; b – мала полу вісь еліпса; а – велика полу вісь еліпса.

A₁A₂=2a, B₁B₂=2b, F₁F₂=2c.

с – відстань від початку координат до фокусу.

x²/a²+y²/b²=1 – канонічне рівняння еліпса.

b²=a²-c² .

Ексцентриситет (E – ексільон) – відношення відстані між фокусами до його великої осі.

E=c/a, E<1.

Директриси еліпса – це прямі ,для еліпса вони розташовані за еліпсом, відстань між директрисою – d, d=2a/E.

12. Криві другого порядку: гіпербола.

Гіпербола називають геометричне місце точок площини модуль різниці відстаней кожної з яких до двох заданих точок цієї площини, що називаються фокусами, є величина стала.

x²/a²-y²/b²=1 – канонічне рівняння гіперболи.

A_1,A₂ - вершини гіперболи; A₁A₂=2а – дійсна вісь гіперболи; B₁B₂ =2b – уявна вісь гіперболи; а,b – полу осі.

Е – відношення відстані між фокусами до його дійсної осі.

E=c/a, E>1.

b²=a²-c² .

Рівностороння гіпербола якщо а= b.

13. .Криві другого порядку: парабола.

Парабола називають геометричне місце точок площин рівно віддалених від даної точки яка називається фокусами і від прямої яка називається директрисою параболи.

y²=2px – канонічне рівняння параболи.

X=-P/2 – директриса; р – відстань між директрисою і фокусом; F₁ – фокус; r – фокальний радіус параболи.

r=x+P/2.

E_кс=1.

Ось параболи це пряма яка проходить через фокус параболи перпендикулярин до його директриси(ох).

Вершина параболи – точка перетину параболи з її віссю, координати вершини параболи(0,0).

14. Границя функції. Властивості границь. Теореми про існування границь.

lim f(x)=A.

xx₀

Нескінченно малі та нескінченно великі функції.

Функцією називають нескінченно малі ,якщо її границя = 0. lim f(x)=0

xx₀

Функцією називають нескінченно великою.

lim f(x)=⁺_- нескінченість

хх₀

Теореми про н.м. та н.в. функції:

1.якщо f(x) н.м. функція то 1/f(x) н.в.функція.

с/0=нескінченість.

2.якщо f(x) н.в. функція то 1/f(x) н.м. функція.

с/нескінченість=0.

Властивості границь:

1.Алгебраїчна сума скінченого числа не скінченою мала функція є н.м. функцією.

2.Добуток н.м. функції на обмежену функцію є н.м. функцією.

3.Добуток н.м. функції на константу є н.м. функція.

4.Добуток скінченого числа н.м. функції є н.м. функцією.

5.Частка від ділення н.м. функції на функцію границі ,якщо не дорівнює 0 є н.м. функція.

Теореми про існування границь:

1.Якщо функція y=f(x) має А при хх₀ то ця границя єдина.

2.Нехай функція y=f(x) i y=g(x) мають границю то:

a) lim (f (x)⁺-g (x))=lim f (x)⁺-lim g (x)

xx₀ xx₀ xx₀

b) lim (f (x)*g (x))=lim f (x)*lim g (x)

xx₀ xx₀ xx₀

c) lim (f (x):g (x))=lim f (x):lim g (x), g (x) не= 0

xx₀ xx₀ xx₀

d) lim (cf (x))=c lim f (x)

xx₀ xx₀

15. .Границя дробово - раціональної функції. Перша та друга визначна границя.

Розкриття не визначеності безкінечність/ безкінечність, щоб розкрити невизначеність виду безкінечність/нескінченість треба чисельник і знаменник дробу поділити на найвищій ступінь змінної.

Розкриття невизначеного виду 0/0.

а) Якщо чисельник та знаменник дробу які перетворюються в 0 при х=х₀ то, щоб розкрити невизначеність0/0 треба. Чисельник та знаменник дробу розкласти на множники і скоротити на спільний множник х-х_0.

б)Якщо чисельник чи знаменник дробу або і чисельник, і знаменник ірраціональні вирази, то для розкриття невизначеності 0/0 треба позбавитися від раціональності в чисельнику чи знаменнику тобто помножити на вираз спряжений даному.

Невизначеність виду 0/0 при наявності тригонометричних функцій розкривається за допомогою першої стандартної границі.

lim Sinx/x=1.

Для розкриття невизначеності виду 1^{бескінечність} використовують другу стандартну границю.

lim (1+1/x)^x=e е приблизно = 2,7.

xнескінченість