Екзаменаційні питання

1. Означення матриці. Види матриць. Лінійні дії над матрицями.

Якщо виразити розміщені в деякій прямокутній таблиці з m рядків і n стовпчиків, то таку таблицю називають матрицею розміром m ^x n.

Види матриць:

1.матрицю розміром n ^x n називається квадратною матрицею порядку n.

Квадратна матриця – це результат множення цієї матриці самої на себе.

2.квадратна матриця в якій на головній діагоналі стоять одинички, а всі інші елементи рівні нулю називається одиничною матрицею. (мат. Е.)

3.транспонована матриця – це якщо в матриці А поміняти місцями рядки і стовпчики і позначають А^т .

Лінійні дії над матрицями:

а) рівність матриці, A=(aij) B=(bij), називається (А=В) коли вони мають однакові розміри m x n, та всі елементи які стоять на відповідних місцях рівні між собою.

б) множення матриці на число – добутком матриці A=(aij) на число L називається матрицею B=LA=(Laij), що утворена з матрицею А множення кожного елемента матриці А на дане число.

в) додавання матриць одного розміру – сумою двух матриць A=(aij) та B=(bij) є матриця С того ж самого розміру з елементами С=ij=аij+bij.

г) віднімання матриць одного розміру – віднімаємо відповідні елементи, одного розміру.

д) добутком двох матриць А= (аij) розміром n ^x p, називається матриця C=(cij), при чому елемент матриці C, що стоїть і – ому рядку та j – ому стовпчику = сумі добутків відповідних елементів і – ого рядка матриці A на j – тий стовпчик матриці B.

2. Обернена матриця.

Оберненою матрицею (А^-1) для матриці А називається матрицею для якої виконується рівність

А*А^-1 = А^-1*А=Е.

Щоб знайти обернену матрицю треба:

1.обчислити визначник матриці А.

2.найти алгебраїчне доповнення до всіх елементів матриці А.

3.записати обернену матрицю по формулі А^-1=1/|А| звернувши увагу на те, що в матриці яка складається з алгебраїчних доповнень рядки записані замість стовпчиків і навпаки.

4.зробити перевірку, для цього дані перевернути матрицю і отримати одиничну матицю тоді коли n не дорівнює 0 існує.

3. Визначники. Означення, основні властивості.

Нехай A=(aij) квадратна матриця порядку n. Кожній такій матриці можна поставити однозначно у відповідність число(А) яке називається визначником (детермінантом) Д, |A|, det A.

Властивості:

1.якщо у визначнику поміняти місцем два рядки (два стовпчики), то його знак зміниться на протилежний.

2.Якщо у визначнику поміняти місцем рядки і стовпчики то значення визначника не зміниться.

3.якщо у визначнику два рядки (стовпчики) пропорційні то визначник = 0.

4.Якщо у визначнику елементи якого не будь рядка мають спільний множник то його можна внести за знак визначника.

5.якщо у визначнику який не будь рядок (стовпчик) помножити на деяке число і додати до другого рядка (стовпчика) то значення визначника не зміниться.

6.”Теорема розкладу” визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (стовпчиків) на їх алгебраїчні доповнення.

Використовується для обчислення визначника порядку n більше – рівне 3.

4. Мінори. Алгебраїчні доповнення.

Мінори Mij елемента aij називається визначник (n-1) який отримано із визначника n порядку шляхом закреслення i-го рядка, та j-ого стовпчика, на яких розташований даний елемент.

Алгебраїчне доповнення Aij елемента a(ij називається мінор ij*(-1)^i+j)