2. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме

Полученный в предыдущем параграфе вывод о магнитном поле тока смещения можно выразить в виде уравнения. Для этого рассмотрим проводник, в котором имеется изменяющийся ток, и выделим внутри него произвольную площадку , ограниченную контуром (рис. 4.2). Применим к этому контуру теорему о магнитном напряжении (1.9), учитывая, однако, что в общем случае изменяющегося тока магнитное поле определяется полным током. Это дает:

,

где  сила полного тока через площадку . Теперь вычислим . Из (4.4) имеем:

.

Первое слагаемое есть сила тока проводимости . Во втором слагаемом можно изменить последовательность интегрирования и дифференцирования, что дает

.

Поэтому

. (4.5)

(4.5) является вторым основным уравнением теории Максвелла и выражает в математической форме высказанное им положение о магнитном поле тока смещения.

Вспомним теперь основной закон электромагнитной индукции (2.1):

,

где  поток магнитной индукции через площадку , ограниченную контуром , определяемый формулой (1.21):

.

С другой стороны ЭДС, действующая в каком-либо контуре , равна

,

где  напряженность поля сторонних сил. В данном случае есть напряженность вихревого электрического поля. Полагая и подставляя в (2.1), находим:

(4.6а)

или

. (4.6)

(4.6) или (4.6а)  первое уравнение теории Максвелла.

К уравнениям (4.5) и (4.6) нужно добавить еще два уравнения, выражающие теорему Гаусса для электрического

или

(4.7)

и магнитного полей:

. (4.8)

Уравнение (4.8) отражает тот факт, что силовые линии магнитной индукции замкнуты и для любой замкнутой поверхности число входящих через нее линий индукции равно числу выходящих: полный поток магнитной индукции через замкнутую поверхность всегда равен нулю.

К основным максвелловым уравнениям необходимо причислить и соотношения, связывающие между собой значения основных векторов электромагнитного поля:

(4.9)

где и  диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества. Сила тока проводимости в (4.5) определяется плотностью тока , которая связана с законом Ома в дифференциальной форме:

, (4.10)

где  удельная электропроводность вещества.

Примечание. Величины входят в уравнения Максвелла как материальные постоянные, т. е. как заданные величины, характеризующие свойства среды.

3. Уравнение электромагнитной волны

Как уже указывалось, одним из важнейших следствий уравнений Максвелла является существование электромагнитных волн. Можно показать, что для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей и переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению:

(1)

(2)

где

— оператор Лапласа, v — фазовая скорость.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (1) и (2), описывает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением

(3)

где , и — соответственно электрическая и магнитная постоянные, и — электрическая и магнитная проницаемости среды.

В вакууме, где и , скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью . Так как , то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме. При вычислении скорости распространения электромагнитного поля по формуле (3) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с экспериментальными данными, если учитывать зависимость и , от частоты. Совпадение же размерного коэффициента в (3) со скоростью распространения света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны.

Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных волн: векторы и напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (на рис. 227 показана моментальная «фотография» плоской электромагнитной волны) и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору скорости распространения волны, причем все три вектора образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы и всегда колеблются в одинаковых фазах (см. рис. 227), причем мгновенные значения и в любой точке связаны соотношением

(4)

и одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль и т. д. От волновых уравнений (1) и (2) можно перейти к уравнениям

(5)

(6)

где индексы и при и подчеркивают лишь то, что векторы и направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей и .

Уравнениям (5) и (6) удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны вида

(7)

, (8)

где и — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны, — круговая частота, — волновое число, — начальные фазы колебаний в точках с координатой .