Пробные сигналы.

Постановка задачи:

1. Необходимо подобрать сигналы, реакцию на которые легко найти – пробные

2. Необходимо построить математический аппарат, который позволил бы, зная реакцию на пробные сигналы, мог бы найти реакцию на другой сигнал.

Единичная ступенчатая функция Хевисайда

Единичная импульсная функция Дирака

Введение импульсной функции позволяет обобщить понятие производной, определив производную в точке разрыва

Обобщенная производная дополняет классическую производную в точке разрыва  функцией с соответствующим весовым коэффициентом. Всюду, кроме точки разрыва, обобщенная производная совпадает с классической.

Обобщенная функция. На этой основе могут быть введены обобщенные функции. Обобщенная функция состоит из суммы сингулярной и регулярной составляющих.

Переходная и импульсная характеристики цепи.

Переходной характеристикой h₁(t) называется реакция цепи на ₁(t) при нулевых предначальных условиях.

Импульсной характеристикой h₀(t) называется реакция цепи на ₀(t) при нулевых начальных условиях

В силу линейности цепи переходные и импульсные характеристики связаны той же операцией обобщенного дифференцирования.

Сингулярная составляющая:  функция с весовым коэффициентом h₁(0⁺), а регулярная: классическая производная

Особые случаи правила коммутации

Если через емкость протекает  функция тока, то тогда в начальный момент времени:

Если к индуктивности приложена  функция напряжения, то:

Общие выводы: начальные значения U_C(0⁺) i_L(0⁺) по известным предначальным могут быть найдены всегда

Интеграл наложения (Дюамеля).

Интеграл Дюамеля – это аппарат, который при нулевых предначальных условиях позволяет найти реакцию цепи, если известны ее переходная или импульсная характеристика. Если начальные условия в цепи ненулевые, то, используя свойства линейности, отыскивают реакции цепи при нулевых предначальных условиях, а затем реакцию цепи на ненулевые предначальные, выделенные в виде дополнительных источников.

Интеграл наложения через переходную характеристику.

Кусочно-постоянно аппроксимируем функцию.

Интеграл наложения через импульсную функцию

Заключение.

Если предначальные условия в цепи не нулевые или если в цепи действуют более одного источника, то, пользуясь линейностью цепи и используя принцип суперпозиции, вычисляют реакции от каждого из источников в отдельности, включая зависимые источники, учитывающие предначальные условия, а затем суммируют полученный результат.

Анализ в t области кусочно-линейных цепей.

При переходе с одного участка линейности на другой, рассматриваем точку изменения как коммутацию. Анализ КЛЦ сводится к последовательному анализу ЛЦ при коммутации и при возникающих ненулевых предначальных условиях.

Расчет переходных процессов в цепях первого порядка при постоянных воздействиях.

1) , где - постоянная времени в цепи. ИНКЗ, ИТХХ при t=.

2) Вынужденная составляющая. СХХ, LКЗ при t=.

3) Предначальные условия. СХХ, LКЗ при t=0-.

4) Начальные условия. СИН, LИТ при t=0+.

5) Определение постоянной интегрирования. Подставить значения при t=0+.